三章4.5 向量空间.pptx

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第4章向量与线性方程组主要内容n维向量及其线性运算向量及其线性组合向量的线性相关性向量组的秩向量空间线性方程组解的结构

§4.5向量空间本节主要内容向量空间的定义过渡矩阵与坐标变换

定义1设是n维向量构成的非空集合,如果有（2）对；；对集合中向量的加法和数乘两种（1）对运算满足以下条件:，，有则称为向量空间.

定义2在向量空间中,如果存在个向量线性无关,而中任意(若存在)线性相关,个向量则称为的一组基.称为向量空间的维数,记为由定义2知,（1）为向量空间的一组基的充分必要条件是线性无关且中任一向量总可由线性表示．（2）维向量空间中任意个线性无关向量都的一组基.是

定义3设是向量空间的一组基,对于任意,存在一组有序数使则称这组有序数为向量在基下的坐标,并记作，.在基下的坐标是唯一的.注：

设及是维向量空间的两组基,且即其中矩阵称为基到基的过渡矩阵.1.过渡矩阵由这两组基唯一确定．注：2.过渡矩阵是可逆的．

定理1设及是维向量空间的两组基,且基到基的过渡矩阵为.设中的向量在基下的坐标为，在基下的坐标为，则有坐标变换公式或.

例1验证维向量的集合是一个向量空间.例2验证向量集合不是一个向量空间.例3证明向量组是向量空间的一组基.

例4设两个向量组和，都是向量空间的基,求(1)由基到基的过渡矩阵;(2)向量在两组基下的坐标.解(1)设由基到基的过渡矩阵为，则即，.

由于可知向量组线性无关,故矩阵可逆.于是.(2)设向量在基下的坐标是,即于是.

设向量在基下的坐标是由坐标变换公式有,.综上可得向量在两组基和下的坐标分别是和.

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