解析几何提升篇——轨迹方程在高考中可能出现的六种情形.pdfVIP

解析几何提升篇——轨迹方程在高考中可能出现的六种情形

各位同学，在上期内容《圆锥曲线完结篇——抛物线在高考中的

奥秘所在（高三兄弟可收藏）》中叶老师将圆锥曲线的所有内容都讲

解完毕并做了个总结，同学们可以回顾一下。今天叶老师将为各位同

学讲解一下高中阶段令同学比较纠结的一块内容——轨迹方程，希望

能够对各位同学有所帮助！

作者简介：叶老师，笔名“动人定理”，

专职教师，数学学科研究员，目前担任机构数

学教研组组长及学生学业规划师。曾供职合作

于多家上市教育公司，对中高考数学考点有着

深入认知与理解。拥有超过10000小时的高

三毕业班学生一对一辅导经验。

导读

在之前的一期内容《高三总复习必记：高考热门考点——轨迹方

程的求法》中，叶老师向各位同学介绍了高中阶段求解轨迹方程的几

种常见方法，各位也可以复习一下。前几天有粉丝私信我，让我进一

步总结一下轨迹方程在高考中会出现哪些题型，并让我总结一下何时

需要对轨迹方程的变量x,y进行讨论。根据叶老师以往的教学经验，动

点轨迹方程在高考中的题型大致可分为六种。好了话不多说，下面我

们来好好总结一下动点轨迹方程这六种常考题型吧！

动点轨迹方程中动点运动的六种情形

1.求到两定点距离之和为定值的动点轨迹方程

条件及问题分析：在这样的条件下，很多同学会想到椭圆的定义，

于是乎便直接写出动点的轨迹方程，这样固然好，只不过希望同学们

记住：只有当两个定点关于原点对称时，才可利用椭圆的定义进行求

解。如果说两个定点并不关于原点对称的话，那么只能够借助两点间

的距离公式列方程然后化简了

下面我们来看一道例题：

分析：本题可先求得圆的圆心坐标与半径，并利用直线平行同位

角相等以及等腰三角形的性质，将EB转成与EA共线的线段ED，证明

出结论。接下来将定值与|AB|进行比较并利用椭圆方程的定义进行求

解

下面请看具体解析过程：

小结：对于此种类型的轨迹方程，叶老师想通过一张流程图向大

家说明一下应对方案：

2.求过定点的动直线与定圆的两交点的中点轨迹方程

条件与问题分析：对于此类题型，同学们首先需要确定定点与定

圆的位置关系，因为只有确定了它们的关系，才能确定动直线与定圆

是否相交。最后利用垂径定理并结合向量数量积公式进行求解。另外

对于直线与圆的问题，我们通常不建议使用联立方程消参的方法，因

为太过繁琐。

下面我们来看一道例题：

分析：本题先得利用圆C的方程求出圆心坐标以及半径并设出M

坐标，判断出直线L与圆的关系后利用垂径定理并结合向量的数量积

公式进行求解。

下面请看具体的解析过程：

小结：对于此种类型的轨迹方程，叶老师想通过一张流程图向大

家说明一下应对方案：

3.求与一个圆内切与另一个圆外切的动圆圆心轨迹方程

条件与问题分析：当求动圆圆心的轨迹方程时，首先需要确定两

个定圆的位置关系，然后再来确定动圆如何与之分别相切。另外最好

设出动圆的半径，这样可以更好地表示出内切外切的关系。

我们来看一道例题：

分析：先得判断两个定圆之间的位置关系，从而得到动圆p与圆

M外切，与圆N内切，然后利用圆心距和半径的关系得到P到M和P

到N的距离之和为定值，符合椭圆定义，从而得到轨迹方程。

下面请看具体解析过程：

小结：对于此种类型的轨迹方程，叶老师想通过一张流程图向大

家说明一下应对方案：

4.求三角形顶点的轨迹方程

条件与问题分析：在解决此类问题的时候，请同学们切记三角形

的三个顶点A,B,C不能共线。因此在求出轨迹方程后，还得画出图形，

并排除三点共线的情况。

下面请看一道例题：

分析：本题首先得注意B与C都是等腰三角形底边的端点，因此

就不需要讨论谁为顶点的问题了。另外请各位同学一定注意，如果

A,B,C三点共线的话，则无法构成三角形，因此在求出轨迹方程后还应

该在轨迹方程中挖去使A,B,C三点共线的点。

下面请看具体解析过程：

小结：对于此种