第十二讲--简单的三角恒等变换经典难题复习巩固.docVIP

DSE金牌化学专题系列精典专题系列第12讲

DSE金牌化学专题系列

简单的三角恒等变换

导入：难解的结

古罗马时代，一位预言家在一座城市内设下了一个奇特难解的结，并且预言，将来解开这个结的人必定是亚细亚的统治者。长久以来，虽然许多人勇敢尝试，但是依然无人能解开这个结。

当时身为马其顿将军的亚历山大，也听说了关于这个结的预言，于是趁着驻兵这个城市之时，试着去翻开这个结。

亚历山大连续尝试了好几个月，用尽了各种方法都无法翻开这个结，真是又急又气。

有一天，他试着解开这个结又失败后，恨恨地说：“我再也不要看到这个结了。”

当他强迫自己转移注意力，不再去想这个结时，突然脑筋一转，他抽出了身上的佩剑，一剑将结砍成了两半儿–结翻开了。

大道理：勇敢地跳出思想的绳索，翻开心结。过后会发现，事情实际上没有看到的和想象中的那么困难。积极一点，什么都会给你让路。

二、知识点回忆：

1．半角公式

(1)用cosα表示sin2eq\f(α,2)，cos2eq\f(α,2)，tan2eq\f(α,2).

sin2eq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,2)；cos2eq\f(α,2)＝eq\f(1＋cosα,2)；tan2eq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,1＋cosα).

(2)用cosα表示sineq\f(α,2)，coseq\f(α,2)，taneq\f(α,2).

sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))；coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))；taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα)).

(3)用sinα，cosα表示taneq\f(α,2).

taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).

2．形如asinx＋bcosx的化简

asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中tanφ＝eq\f(b,a).

三、专题训练：

考点一

三角函数式的化简

化简：(eq\f(1,tan\f(α,2))－taneq\f(α,2))·(1＋tanα·taneq\f(α,2))．

[自主解答]原式＝(eq\f(cos\f(α,2),sin\f(α,2))－eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2)))·(1＋eq\f(sinα,cosα)·eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2)))＝eq\f(cosα,sin\f(α,2)cos\f(α,2))·(1＋eq\f(sinα,cosα)·eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2)))＝eq\f(2cosα,sinα)eq\f(2cosα,sinα)·eq\f(sinα,cosα)·eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))

＝eq\f(2cosα,sinα)＋eq\f(2sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝eq\f(2cosα,sinα)＋eq\f(4sin2\f(α,2),sinα)＝eq\f(2cosα＋4sin2\f(α,2),sinα)＝eq\f(2?1－2sin2\f(α,2)?＋4sin2\f(α,2),sinα)＝eq\f(2,sinα).

变式训练：化简eq\f(1＋cosθ－sinθ,1－cosθ－sinθ)＋eq\f(1－cosθ－sinθ,1＋cosθ－sinθ).

解：原式＝eq\f(2cos2\f(θ,2)－2sin\f(θ,2)cos\f(θ,2),2sin2\f(θ,2)－2sin\f(θ,2)cos\f(θ,2))＋eq\f(2sin2\f(θ,2)－2sin\f(θ,2)cos\f(θ,2),2cos2\f(θ,2)－2sin\f(θ,2)cos\f(θ,2))＝eq\f(2cos\f(θ,2)?cos\f(θ,2)－sin\f(θ,2)?,2sin\f(θ,2)?sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2)?)＋eq\f(2sin\f(θ,2)?sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2)?,2cos\f(θ,2)?cos\f(θ,2)－sin\f(θ,2)?)

＝－eq\f(cos\f(θ,2),sin\f(θ,2))－eq\f(sin\f(θ,2),cos\f(θ,2))＝－eq\f(cos2\f(θ,2)＋sin2\f(θ,2),sin\f(θ,2)cos\f(θ,2))＝－eq\f(2,sinθ).

考点二

三角函数式的求值

(1)0βeq\f(π,2)απ，且