高中数学： 《函数的极值与最大（小）值（第一课时）》 教学设计.docx

教学设计

课程基本信息

学科

数学

年级

高二

学期

秋季

课题

5.3.2函数的极值与最大（小）值（第一课时）

教科书

书名：普通高中教科书数学选择性必修第二册

出版社：人民教育出版社

教学目标

知识与技能

（1）了解函数的极值的概念，会从函数的图象直观认识函数的极值与导数的关系；

（2）掌握利用导数求可导函数的极值的一般方法；

（3）了解可导函数的极值点与的逻辑关系；

（4）体会渗透在数学中的整体与局部的辩证关系．

数学核心素养

通过教学活动，让学生理解从特殊到一般的数学思想和归纳与猜想的数学方法，培养学生仔细观察、善于思考、勇于创新的科学素养，实践和培养学生的数学核心素养.

（1）数学抽象：求函数的极值的方法；

（2）逻辑推理：导数值为零与函数的极值的关系；

（3）数学运算：运用导数求函数的极值；

（4）直观想象：导数与极值的关系.

教学内容

重点：理解函数的极值的定义，掌握求函数的极值的方法与步骤.

难点：函数的极值点与导函数的零点的关系.

教学过程

一、创设情境，激发兴趣

探究1：观察庐山高低起伏的图片，思考山势有什么特点？

结合苏轼在《题西林壁》中的诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，描述的是庐山

的高低起伏,错落有致.在群山之中,各个山峰的顶端,虽然不一定是群山的最高处,但它却是

其附近的最高点.那么,在数学上,这种现象又如何来刻画呢?

设计意图：创设问题情境，为引出函数的极值做铺垫．

二、探究新知，学习概念

探究2：观察下图，我们发现当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数h(t)在此点处的导数是多少？此点附近的函数图象有什么特点？相应地，导数的正负性有什么变化规律?

放大附近函数的图像，如图，可以看出；在附近，当时，函数单调递增，；当时，函数单调递减，；这就说明，在附近，函数值先增（，）后减（，）．这样，当在的附近从小到大经过时，先正后负，且连续变化，于是有．

对于一般的函数，是否具有同样的性质？

a

a

f

e

d

c

b

以，为例进行说明.

函数的极值的定义：

函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧.我们把点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值.

函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧.我们把点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值.

函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.

极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.

特别注意：

虽然，但是左右两侧附近都为单调递减，即导函数都小于0，故不为极值点.

探究3：导数为0的点一定是极值点吗？

答：不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，

但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．

所以，当f′(x0)＝0时，

要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，

还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反．

例.对于连续可导函数，则“”是“为极值点”的必要不充分条件.

总结求极值的步骤:

（1）求导数；

（2）令，求出导函数的零点；

（3）结合图像，判断导函数在零点附近的符号；

（4）判断极值点，求出极值.

设计意图：进一步理解函数的极值.对极大值、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的.判断极值点的关键是这点两侧的导数要异号.

三、应用巩固，深化理解

例1求函数的极值.

解：因为，所以.

令，解得或.

当x变化时，，的变化情况如表所示.

x

2

＋

0

－

0

＋

单调递增

单调递减

单调递增

因此，当时，有极大值，并且极大值为；

当时，有极小值，并且极小值为.

函数的图像如图所示：

练习1求函数f(x)＝eq\f(lnx,x)的极值.

解：函数f(x)＝eq\f(lnx,x)的定义域为，且f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2).

令f′(x)＝0，得x＝e.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x

(0，e)

e

f′(x)

＋

0

－

f(x)

单调递增

eq\f(1,e)

单调递减

因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝eq\f(1,e)，且函数没有极小值．

练习2.函数在时有极值，则的值为.

解:由题设条件得：，，消去得，

解得或.

当时，，，

当时，，当时，，

故是函数的极值点，故成立.

当时，，恒成立，

故恒为增，所以无极值点，故舍去.

所以，综合.

设计意图：进一步巩固所学知识，掌握求函数的极值的方法，理解函数的极值点与导函数零点的关系.

四、课堂小结

五、课后作业