专题8 仿射变换在圆锥曲线中的应用 微点1 仿射变换的定义、性质及其在圆锥曲线中的应用（一）（学生版）.docxVIP

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专题8利用仿射变换轻松解决圆锥曲线问题

微点1仿射变换的定义、性质及其在圆锥曲线中的应用（一）

【微点综述】

仿射变换，即平行投影变换，是几何学中的一个重要变换，是从运动变换过渡到射影变换的桥梁．在初等几何中，仿射图形经过平面仿射变换，可以由对特殊几何图形的证明，得出对一般几何图形的证明．而且，根据仿射变换的性质，可以把特殊图形的命题推广到一般图形，从而达到事半功倍的效果．本文将探讨应用仿射变换中的仿射不变性质与仿射不变量来解决解析几何一些较难问题．

一、仿射变换概述

先看一个引例：

引例．（《人教A版选择性必修第一册》第115页“综合应用”第9题）如图，轴，垂足为D，点M在DP的延长线上，且，当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状．

【解析】设点的坐标为，点，由题意可知，则由题可得，即，

点P在圆上运动，，即点的轨迹方程为，点的轨迹为椭圆，除去与轴的交点．

这个问题就是用仿射变换把圆变换为椭圆．在高中数学解析几何题中，我们可以利用仿射变换将一部分有关椭圆的问题转化为圆的问题，这样就可以借助圆中的特有的一些性质解决问题，从而使问题的解决过程大大简化．

二、仿射变换定义

解析几何中的仿射变换（AffineTransformation）是?种?维坐标到?维坐标之间的线性变换，保持?维图形的“平直性”（译注：straightness，即变换后直线还是直线，不会打弯，圆弧还是圆弧）和“平?性”（译注：parallelness，其实是指保持?维图形间的相对位置关系不变，平?线还是平?线，相交直线还是相交直线，另外特别注意向量间的夹角可能会发生变化．）仿射变换可以通过?系列的原?变换的复合来实现，包括：平移（Translation）、缩放（Scale）、翻转（Flip）、旋转（Rotation）和剪切（Shear）．

下面是字母R的反射变换效果图：

三、仿射变换性质

仿射变换有如下性质：

1．同素性：在经过变换之后，点仍然是点，线仍然是线；

2．结合性：在经过变换之后，在直线上的点仍然在直线上；

3．其它不变关系．

我们以椭圆为例阐述上述性质．

椭圆，经过仿射变换，则椭圆变为了圆，并且变换过程有如下对应关系：

（1）点变为；

（2）直线斜率k变为，对应直线的斜率比不变（见例4）

（3）图形面积S变为，对应图形面积比不变（见例7～例10）；

（4）点、线、面位置不变（平?直线还是平?直线，相交直线还是相交直线，中点依然是中点，相切依然是相切等，见例1）；

（5）弦长关系满足，因此同一条直线上线段比值不变，三点共线的比不变（见例6）．

总结可得下表：

变换前

变换后

方程

横坐标

纵坐标

斜率

面积

弦长

不变量

平行关系；共线线段比例关系；点分线段的比

仿射变换一般而言主要应用于选填中快速得出结果，对于解答题可以利用仿射变换快速得出结果但是容易丢掉步骤分，因此还是用正常解法写出过程．

四、仿射变换的应用

当出现以下几个场景的时候就可以联想仿射变换去处理：①面积问题（尤其是有一个顶点是坐标原点的时候）；②斜率之积出现之类；③同一条线段的比例问题；④其他与之相关联的问题．

（一）初识仿射变换

例1．（一般情况下的标准椭圆与直线）已知直线，椭圆，讨论直线与椭圆的位置关系．

【解析】作变换，直线变为，椭圆变为圆，

圆心到直线的距离为，由直线与圆的位置关系易得：

（1）当，即时，直线与圆相切，当时，直线与椭圆相切；

（2）当，即时，直线与圆相离，当时，直线与椭圆相离；

（3）当，即时，直线与圆相交，当时，直线与椭圆相交．

【推广】标准变换后，直线变为，此结论可以作为公式记熟，提高做题速度．

例2．已知椭圆的方程为，点的坐标为．

（1）设直线交椭圆于两点，交直线于点．若，证明：为的中点；

（2）对于椭圆上的点，如果椭圆上存在不同的两个交点满足，写出求作点的步骤．

【解析】（1）证法一：设，则

可得，又，，而由题意知，，即，即线段的中点在直线上，也即直线与的交点为线段的中点．

证法二：由方程组，消y得方程，

因为直线交椭圆于两点，，即，

设的中点坐标为，则，

由方程组，消y得方程，

又因为，所以，故为的中点．

（2）求作点的步骤：

1?取的中点；

2?连接，求出直线OE的斜率；

3?由知为的中点，根据（1）可得的斜率；

4?从而得直线的方程：；

5?将直线与椭圆的方程联立，方程组的解即为点的坐标．

下面利用仿射变换解决这个问题：

（1）作仿射变换：，椭圆方程变为，则，，由垂径定理得为的中点，是的中点．

（2）如图，求作点的步骤：

1?以为圆心，椭圆的长半轴