专题11 圆锥曲线第三定义与点差法 微点1 圆锥曲线第三定义的应用（学生版）.docxVIP

答案第=page11页，共=sectionpages22页

答案第=page11页，共=sectionpages22页

专题11圆锥曲线第三定义与点差法

微点1圆锥曲线第三定义及其应用

【微点综述】

以圆锥曲线第三定义及中点弦斜率性质为背景的高考题、模拟题层出不穷，既有较为基础简单的小题，也有难度较大的综合题，更有能力要求极高的压轴题．它们兼具基础考查与能力检测的双重功能，无一例外都是以教材母题为“根”，以能力立意为“魂”，注重交汇性、渗透性、探究性，求新、求变、求活，生动展现了圆锥曲线第三定义内涵、外延的“来龙去脉”，体现出数学公式的结构美与和谐美．

椭圆和双曲线称为有心圆锥曲线（它们有对称中心），本专题给出了有心圆锥曲线的第三定义，并通过对第三定义的进一步研究得出相应的推广，利用第三定义及其推广简单、巧妙地解决了近年高考及模拟题中较为复杂的解析几何问题．

一、圆雉曲线第三定义（仅限于椭圆和双曲线）

平面内动点到两定点（或）的斜率乘积等于常数的点的轨迹为椭圆或双曲线．其中两定点为椭圆或双曲线的顶点．当时为椭圆，当时为双曲线．

由第三定义易得如下结论：

【结论1】为椭圆的长轴两端点，是椭圆上异于的任一点，则有．

证明：设，则，

又，

代入上式可得．

同理可证如下的结论2～4．

二、一次推广

【结论2】为椭圆的短轴两端点，是椭圆上异于的任一点，则有．

【结论3】为椭圆的长轴（或短轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则有．

【结论4】为双曲线的实轴（或虚轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则有．

三、二次推广

【第三定义推广·思维引导1】

1．已知AB是圆的直径，点P是圆上一点，当PA，PB斜率存在时．思考：是否为定值？

【第三定义推广·思维引导2】

2．已知是椭圆上关于原点对称的两点，点P是椭圆上一点．当PA，PB斜率存在时，思考：是否为定值？

3．已知是椭圆上关于原点对称的两个点，点在椭圆上．当和斜率存在时，求证：为定值．

4．已知是椭圆上关于原点对称的两个点，点P在椭圆上．当PA、PB斜率存在时，求证：为定值．

5．已知是双曲线上关于原点对称的两个点，点P在双曲线上．当PA和PB斜率存在时，求证：为定值．

6．已知是双曲线上关于原点对称的两个点，点在双曲线上．当、斜率存在时，求证：为定值．

【结论5】在椭圆中，是关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若存在，则有：．

【结论6】在椭圆中，是关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若存在，则有：．

【结论7】在双曲线中，是关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若存在，则有：．

【结论8】在双曲线中，是关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若存在，则有：．

总结可得如下表格：

有心圆锥曲线第三定义

有心圆锥曲线第三定义的推广（圆周角定理的推广）

椭

圆

平面内动点到两定点（或）的斜率乘积等于常数的点的轨迹为椭圆或双曲线．其中两定点为椭圆或双曲线的顶点．当时为椭圆，当时为双曲线．

为椭圆的长轴（或短轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则．推广：在椭圆中，是关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若存在，则．

为椭圆的长轴（或短轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则．推广：在椭圆中，是关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若存在，则．

双曲线

为双曲线的实轴（或虚轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则．推广：在双曲线中，是关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若存在，则．

为双曲线的实轴（或虚轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则．推广：在双曲线中，是关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若存在，则．

五、典型例题

7．椭圆C：的左右顶点分别为，点P在C上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是

A． B． C． D．

8．双曲线C：的左、右顶点分别为，，点P在C上且直线斜率的取值范围是[-4，-2]，那么直线斜率的取值范围是

A． B． C． D．

9．已知平行四边形内接于椭圆，且，斜率之积的范围为，则椭圆离心率的取值范围是

A． B． C． D．

10．设椭圆的左,右顶点为是椭圆上不同于的一点,设直线的斜率分别为,则当取得最小值时,椭圆的离心率为

A． B． C． D．

11．已知是椭圆上关于原点对称的两点，若椭圆上存在点，使得直线斜率的绝对值之和为1，则椭圆的离心率的取值范围是______.

12．“过原点的直线交双曲线于，两点，点为双曲线上异于，的动点，若直线，的斜率均存在，则它们之积是定值”．类比双曲线的性质，可得出椭圆的一个正确结论：过原点的直线交椭圆于，两点，点为椭圆上异于，的动点，若直线，的斜率均存在，则它们之积是定值（????）

A． B． C． D．

13．椭圆：的左顶点为，点是椭圆上的两个动点，若