专题7 圆锥曲线之极点与极线 微点1 圆锥曲线之极点与极线（学生版）.docxVIP

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专题7圆锥曲线之极点与极线

微点1圆锥曲线之极点与极线

【微点综述】

“极点极线”是射影几何中的内容，不属于高考考查的范围，但极点极线是圆锥曲线的一种基本特征，蕴含了很多圆锥曲线的重要性质，自然成为命题人命题的背景知识和方向，可以肯定的说“极点极线”为背景的考题是出题人思维中的定势方向．

学生掌握了极点极线的相关知识，就可以从“高观点下”看待高中圆锥曲线的相关内容，更容易抓住问题的本质，虽然高考解答题不能用相关结论，但是我们可以将它作为辅助手段，快速的找到正确答案，然后再用初等方法写过程解题．

一、极点极线发展简史

极点与极线?，是法国数学家吉拉德·笛沙格(GirardDesargues，1591-1661)于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述．吉拉德·笛沙格，1591年2月21日生于法国里昂，1661年10月卒于里昂，法国数学家和工程师，别名S．G．D．L．（是他署名SieurGirardDesarguesLyonnois的缩写），射影几何的创始人之一，他奠定了射影几何的基础．以他命名的事物有笛沙格定理、笛沙格图、笛沙格平面，1964年，国际天文学联合会以他的名字命名一个月球环形山．他建立了统一的二次曲线理论，是从笛沙格定理三角形的角度，也是笛沙格定理的退化（参见南师大周兴和著《高等几何》第四章P98，科学出版社，2003）．

二、引例

先看一个引例：

引例．对于一已知点和一已知圆：，直线的方程（*）的几何意义有如下3种情形：

（1）当点在圆上时，方程(*)表示为经过点的圆的切线，切点为；

（2）当点在圆的外部时，方程(*)表示为过点的两条切线的切点弦所在的直线．点在切点弦的中垂线上．

（3）当点在圆的内部，且不为圆心时，方程(*)表示为过点的对应点（即以点为中点的弦端点的两条切线的交点），且与以为中点的弦平行的直线．

【解析】（1）证法一：当点在圆上时，如图1，由圆的切线几何性质知，圆的切线垂直于经过切点的半径，切线的斜率切线方程为，整理得．在圆：上，，，即方程(*)表示为经过点的圆的切线，切点为．

证法二：在圆：上，，圆心到直线的距离为方程(*)表示为经过点的圆的切线，切点为．

（2）当点在圆的外部时，如图2，设两切点分别为，由（1）得两条切线方程分别为，在切线上，，在直线上，由两点确定一条直线知直线的方程为，故方程(*)表示为过点的两条切线的切点弦所在的直线．易知点在切点弦的中垂线上．

（3）当点在圆的内部且不为圆心时，如图2，易证△∽Δ，，又，，．的斜率过与平行的直线方程为：

，整理得，故当点在圆的内部且不为圆心时，方程(*)表示为过点的对应点（即以点为中点的弦端点的两条切线的交点），且与以为中点的弦平行的直线．

二、圆的极点与极线的定义

为了讨论问题的方便，对于引例的上述三种情况，统称点与对应的直线为关于圆的极点与极线．事实上，如图3，点、为一双对应点，且满足条件：．

注：满足条件（为圆心，为圆的半径）的点的变换，称为反演变换．

因此，一般地，有

【定义1】设是平面上一个定圆（半径为），点、为满足条件的对应点（或反点），则过点且垂直于的直线称为点关于的极线，点称为直线关于的极点．

显然，对于平面上不过圆心的直线关于的极点是圆心在直线上的射影关于的对应点（反点）．

由定义1可以看出，给定了平面上的一个圆，除圆心外，平面上每一点都有唯一确定的极线；除过圆心的直线外，平面上每一条直线都有唯一确定的极点．因而极点与极线是平面上除圆心以外的点与平面上除过圆心的直线以外的直线间的一个一一对应关系．

在普通平面上，圆心没有极线，过圆心的直线没有极点．

由此亦可知，当点在上时，点的极线就是在的切线，切线的极点就是切点；当点在外时，点的极线就是过点所引的两条切线的切点弦直线；与相交的直线的极点就是在交点处的两条切线的交点；当点在内且不为圆心时，点的极线在圆外，是过点的对应点（反点），且与以为中点的弦平行的直线；外的直线的极点可以这样得到：过作于，过作的两条切线得切点、，切点弦的中点即为直线的极点．

三、圆锥曲线的极点与极线

上述结论可以推广到圆锥曲线中，例如，对于椭圆上述结论仍然处理．

已知椭圆（a＞b＞0），则称点和直线为椭圆的一对极点和极线．极点和极线是成对出现的．

我们先从几何的角度来研究圆锥曲线的极点与极线．

1．从几何角度看极点与极线

【定义2】如图4，设是不在圆锥曲线上的一点，过点引两条割线依次交圆锥曲线于四点，，，，连接，交于，连接，交于，则直线为点对应的极线．

若为圆锥曲线上的点，则过点的切线即为极线．

由图4