新八年级数学（人教版）第09讲 与全等三角形有关的计算和角的证明与计算（人教版）（解析版）.docxVIP

第09讲与全等三角形有关的计算和角的证明与计算

【人教版】

·模块一求角度和线段的长度

·模块二角度和线段之间关系的证明

·模块三线段位置关系

·模块四课后作业

模块一

模块一

求角度和线段的长度

【例1】如图，∠ABC=∠DCB，AB=DC，AC=5，求BD的长.

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【答案】BD=5．

【分析】先由SAS证明△ABC≌△DCB，即可求解．

【详解】解：∵AB=CD，∠ABC=∠DCB，BC=BC，

∴△ABC≌△DCBSAS

∴BD=AC=5．

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握SAS判定定理和全等三角形的性质是解题的关键．

【例2】如图，C为BE上一点．点A，D分别在BE两侧．AB∥ED，AB=CE，BC=ED．

(1)证明：△ABC?△CED；

(2)若∠A=135°，求∠BCD的度数．

【答案】(1)见解析

(2)45°

【分析】（1）根据平行线的性质得∠B=∠E，即可根据SAS判断三角形全等．

（2）由（1）△ABC?△CED可得∠A=∠DCE=135°，在由三角形外角和定理即可解答．

【详解】（1）证明：∵AB∥ED，

∴∠B=∠E，

在△ABC和△CED中，

AB=CE∠B=∠EBC=ED

∴△ABC?△CEDSAS

（2）∵△ABC?△CED，

∴∠A=∠DCE=135°，

∴∠BCD=180°?135°=45°．

【点睛】本题考查了三角形全等的判断与性质，平行线的性质，三角形外角和定理，熟练掌握其性质是解题的关键．

【例3】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AC，延长AD到点E，使得AE=AB，连结BE，CE．

????

(1)求证：△ABD≌

(2)若∠BAC=60°，求∠BCE的度数．

【答案】(1)见解析

(2)30°

【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠BAD=∠EAC，再根据边角边证明即可；

（2）根据角平分线的定义得到∠BAD=∠EAC，根据全等三角形的性质得到∠ABD=∠AEC，最后利用三角形内角和定理得到∠BCE=∠BAD=30°．

【详解】（1）解：∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠EAC，

在△ABD和△AEC中，

AB=AE∠BAD=∠EAC

∴△ABD≌

（2）∵∠BAC=60°，

∴∠BAD=∠EAC=30°，

∵△ABD≌

∴∠ABD=∠AEC，

在△ABD和△CED中，

∠ABD=∠AEC，∠ADB=∠CDE，

∴∠BCE=∠BAD=30°．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和，角平分线的定义，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法以及性质的灵活运用．

【变式1】如图，点A，C，D，E在同一条直线上，BC⊥AE，FD⊥AE，∠F=∠B，且AB=EF．

(1)求证：△ABC≌△EFD；

(2)若AE=8，CD=2，求DE的长．

【答案】(1)证明见解析

(2)DE=3

【分析】（1）由BC⊥AE，FD⊥AE，得出∠EDF=∠ACB=90°，结合已知证明△ABC≌△EFD即可；

（2）根据全等三角形的性质得出AC=DE=3，即可求解．

【详解】（1）证明：∵BC⊥AE，FD⊥AE，

∴∠EDF=∠ACB=90°，

在△ABC和△EFD中

∠ACB=∠EDF

∴△ABC≌△EFD（AAS）；

（2）解：∵AE=8，CD=2，

∴AC+DE=8?2=6，

∵△ABC≌△EFD，

∴AC=DE=3．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．

【变式2】如图1是李明制作的燕子风筝，燕子风等的骨架图如图2所示，已知AB=AE，AC=AD，∠BAD=∠EAC,∠D=50°，求∠C的大小．

【答案】50°

【分析】由∠BAD=∠EAC可得∠BAC=∠EAD，根据SAS可证△BAC≌△EAD，再根据全等三角形的性质即可求解．

【详解】解：∵∠BAD=∠EAC，

∴∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD，即∠BAC=∠EAD，

在△BAC与△EAD中，

AB=AE∠BAC=∠EAD

∴△BAC≌△EAD(SAS

∴∠C=∠D=50°．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

【变式3】已知：如图，在△ABC中，E是AC的中点，点F在AB上，CD∥AB，交FE的延长线于点D．

(1)求证：EF=ED；

(2)若AB=8,CD=6，求BF的长．

【答案】(1)见解析

(2)2

【分析】（1）根据E是AC的中点，可得AE=CE，再由CD∥AB，可得∠A=∠ACD，可证明△AEF≌

（2）根据△AEF≌△CED，可得

【详解】（1）证明：∵E是AC的中点，

∴AE=CE，

∵CD∥AB，

∴∠A=∠ACD，

在△AEF和△CED中，

∠A