十二章《全等三角形》知识点归纳总结.docVIP

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第十二章《全等三角形》知识要点归纳总结

一、知识网络

二、基础知识梳理

（一）基本概念

1、全等三角形的定义

全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2、全等三角形的性质

（1）全等三角形对应边相等；

（2）全等三角形对应角相等；

（3）全等三角形周长、面积相等。

3、全等三角形的判定方法

（1）三边对应相等的两个三角形全等。SSS

（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。SAS

（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。ASA

（4）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。AAS

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。HL

4、角平分线的性质及判定

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上

（二）灵活运用定理

证明两个三角形全等，必须根据已知条件与结论，认真分析图形，准确无误的确定对应边及对应角；去分析已具有的条件和还缺少的条件，并会将其他一些条件转化为所需的条件，从而使问题得到解决。运用定理证明三角形全等时要注意以下几点。

1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

（1）已知条件中有两角对应相等，可找：

①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS)

（2）已知条件中有两边对应相等，可找

①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)

（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找

①任一组角相等(AAS或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)

（三）疑点、易错点

1、对全等三角形书写的错误

在书写全等三角形时一定要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。切记不要弄错。

2、对全等三角形判定方法理解错误；

3、利用角平分线的性质证题时，要克服多数同学习惯于用全等证明的思维定势的消极影响。

三、证明全等三角形的常见思路

（一）已知一边与其一邻角对应相等

1.证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等。

【例1】已知：如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C.求证：AF=DE.

证明∵BE=CF（已知），

∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE.

?在△ABF和△DCE中，

∴△ABF≌△DCE（SAS）。

??????∴AF=DE（全等三角形对应边相等）。

2.证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等。

【例2】已知：如图2，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB.求证：AE=CE

证明:∵FC∥AB（已知），

∴∠ADE=∠CFE（两直线平行，内错角相等）。

???????在△ADE和△CFE中，

∴△ADE≌△CFE（ASA）。

???????∴AE=CE（全等三角形对应边相等）

?3.证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等。

【例3】（同例2）。

?证明:∵FC∥AB（已知），

???????∴∠A=∠ECF（两直线平行，内错角相等）。

???????在△ADE和△CFE中，

??????

∴△ADE≌△CFE（AAS）。

????∴AE=CE（全等三角形对应边相等）。

??

（二）已知两边对应相等

1.证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等。

?【例4】已知：如图3，AD=AE，点D、E在BC上，BD=CE，∠1=∠2.

求证：△ABD≌△ACE

????证明∵∠1=∠2（已知），

???????∠ADB=180°-∠1，

???????∠AEC=180°-∠2（邻补角定义），

???????∴∠ADB=∠AEC，

???????在△ABD和△ACE中，

?????∴△ABD≌△ACE（SAS）。

2.证第三边对应相等，再用SSS证全等。

【例5】已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线上，AC=BD，AM=CN，BM=DN.

求证：AM∥CN，BM∥DN???????

证明∵AC=BD（已知）

∴AC+BC=BD+BC，即AB=CD.

?????在△ABM和△CDN中，

????∴△ABM≌△CDN（SSS）

???????∴∠A=∠NCD，∠ABM=∠D（全等三角应角相等），

???????∴A