复数与方程_原创文档.pdfVIP

复数与方程

重点难点:一元二次方程

一、二项方程:形如(a,a∈C,a≠0,n∈N)的方程

0nn

基本解法:化为的形成，利用复数开方求出它的根。

例1．在复数集中解下列方程

解1)法1、求方程的解，即求复数的4次方根，

∵

∴其4次方根为(k=0,1,2,3)

∴原方程的解为下面4个复数:

法2、求方程的解，即求复数的4次方根。

∵由知1-i为的一个4次方根，

∴由复数的次方根的几何意义有的其余三个4次方根分别为:

∴方程的解分别为1+i,-1+i,-1-i,1-i。

解2)令,∴,

∴解之有,∴原方程的根为2-i或-2+i。

注:解二项方程实质就是求一复数的次方根，所以要注意一复数Z的次方根的几种基本

求法:一，则可用公式

1

(k=0,1,2,……,n-1)

求其n个n次方根。如例(1)解法1，此n个复数的几何意义是复平面上n个点，这n个点均匀分

布在以原点为圆心，以为半径的圆上，组成一个正n边形。

二若能由已知中找出个Z的n次方根Z，则可由n次方根的几何意义求其余n-1个n个次根如下:

0

,。如例(1)解

法2。

三若Z的辐角非特殊值，不好转化为三角形式或也不好看出Z的n次方根时，则可以考虑用n次方根的

定义利用代数形式及复数相等直接求。如例(2)。

二、一元二次方程

1.a,b,c∈R时基本解法

时，两不等实根可由求根公式求出，

时，两相等实根。可由上面公式求出，

时，两互为其轭虚根，可由求根公式求出。另:韦达定理仍成立。

2.a,b,c∈C时基本解法

2

判别式定理不成立，所以不能由此判别根的情况。但可由求根公式,δ是b-4ac的一个平方

根另:韦达定理仍成立。

例2．在复数集中解方程。

解:∵，∴=，

∴原方程的根为。

23

注:∵(x-1)(x+x+1)=x-1

23

∴x+x+1=0的根也是x=1的根，即1的两个立方虚根。

记,则，其有如下特征: