《高等数学实用教程》全套教学课件.pptx

第1章函数、极限与连续性;本章内容;1.1初等函数回顾;;;;;;;1.1.3初等函数;;例1.1.1函数是由哪些基本初等函数复合而成的?;例1.1.2;;1.1.4反函数和复合函数;解由,可解得。交换x和y的次序,得

即为的反函数。;;;解因为，而，u是中间变量，所以。;;1.2极限的概念;定义1.2.1如果数列的项数无限增大时，它的通项无限接近于某一个确定的常数a,则称a是数列的极限，此时也称数列收敛于a,记作

;定义1.2.2如果数列的项数无限增大时，它的通项不接近于任何确定的常数，则称数列没有极限，或称数列

发散。

注意：当n无限增大时，如果a无限增大，则数列没有极限。这时，习惯上也称数列的极限是无穷大，记作

;例1.2.1;选学内容;遗憾的是，利用这种方法的前提是必须已经知道数列的极限可能是某个数。但很多情况下，我们很难猜出数列的极限可能是什么。有没有什么方法可以在不知道数列极限可能是什么值的情况下判断极限是否存在呢？柯西收敛准则肯定地回答了这个问题。;;;;解作出函数的图像(如图1-3所示)。由图可以

看出当和时，

因此当时，。

;;解分别作出函数和的图形(如图1-4所示)。

由图形可以看出：

;解(1)函数的图形如图1-5所示。从图形可知，当时，;当

时,。此，当无限增大时，函数无限接近

于常数1，即;;解作出函数的图形(如图1-7所示)。从图形可以看出，不论从小于2的方向趋近于2还是从大于2的方向趋近于2，函数的值总是从两个不同的方向愈来愈接近??3。所以，当时。;

解作出函数的图形(如图1-8所示)。函数的定义域为

在处函数没有定义，但从图1-8可以看出，自变量x不论从大于1还是从小于1两个方向趋近于1时，函数的值从两个不同方向愈来愈接近于2。所以，当时，。

;;;解(1)因为当时，的值无限趋近于x0，

所以有

。;;;例1.2.8已知函数，讨论当时的极限。

;解因为，即