贵师大抽象代数考试卷.pdfVIP

贵州师范大学数学与计算机科学院

2006-2007年度第二学期期末考试试卷(A)

考试科目名称：近世代数;班级：2004级本科数学专业。

注：本试题共三个大题，16个小题。满分100分。

一、选择题（每小题有4个备选项，仅一项正确的可选。每小题3分，共15分）

1、设实数在有理数域Q上的极小多项式f(x)的次数为n,则可以用圆规直尺作图作出的条件

是()。

(A)n是2的方幂；(B)n是素数；(C)n是素数的方幂；(D)n2。

2、设H是群G的正规子群，商群G/H中的元素是()。

(A)H中的元素；(B)中的元素；

(C)G关于H的所有右陪集；(D)H的所有共轭g(1Hg。

3、设是环同态,则同态的核()。

(A)Ker(()={a(S:(b(R,((b)=a}；(B)Ker(()={a(R:((a)=a}；

(C)Ker(()={a(R:((a)=1}；(D)Ker(()={a(R:((a)=0}。

4、下列数中，能用圆规直尺来作出的是()。

(A)；(B)；(C)(2；(D)。

5、设I是交换环R的理想,|R|=81,|I|=3,下列结论中正确的是()。

(A)R一定是特征为3的域;(B)商环R/I中有27个元素;

(C)R可能是域且I是R的子域，[R:I]=3;

商环R/I一定是特征为3的域。

二、简答题（每小题6分，共30分）

6、剩余类环Z6是域吗？为什么？

7、环R的含有单位元的理想有多少个？为什么？

8、300阶群G有7阶元吗?为什么？

9、x3(2是实数(1在有理域上的极小多项式吗？为什么？

10、设有限域F含有343个元素，说明Z7是F的素域。

三、解答题

11、(7分)把置换ρ=(1365)(3457)(7215)表示为不相交的轮换的乘积

12、(8分)计算(mod5)

13、(10分)设f(x)=x4+x+1(Z2[x],

(1)求Z2[x]中所有一次和二次不可约多项式;

(2)证明:f(x)在Z2[x]中不可约;

14、(10分)设G是群,Z(G)={a(G:(g(G,ga=ag}是G的中心.证明:

(1)Z(G)是G的正规子群;

(2)如果商群是循环群,则G是交换群。

15、(10分)证明：模n的剩余类环Zn的每个子加群都是理想。

16、（10分）就你所知,《近世代数学》在科研工作和生产实践中都有哪些应用？

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贵州师范大学数学与计算机科学学院

2006-2007年度第二学期期末考试试卷(B)

考试科目名称：近世代数;班级：2004级本科数学专业。

注：本试题共四个大题，18个小题。满分100分。

一、(20分)回答下列问题：

1、(4分)列出剩余类加群Z10的全部元素；

2、(4分)写出加法群Z10的全部生成元、全部子群；

3、(4分)写出剩余类环Z10的全部理想；（全部子群）

4、(4分)写出剩余类环Z10的全部可逆元（生成元）、全部零因子、负元；

5、(4分)Z10是域吗？说明理由。

二、简答题（每小题6分，共30分）

6、7阶群的子群共有多少个?为什么?

7、除环的理想有多少个?为什么?

8、商环Q[x]/(x2+x+1)是域吗?为什么?。

9、设N是有限群G的正规子群,商群G/N与三次对称群S3同构,N≌Z11。说明:22||G|.

10、有锐角的棱形的对称性群是几阶群?

三、计算题（每小题6分，共30分）

11、复数域C作为实数域R的扩域，求指数[C:R].

12、计mod7).

13、把置换ρ=(41536)(3745)(2175)表示为不相交的轮换的乘积。

14、如果域E的乘法子群的乘法子群有一个13阶子