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三角形辅助线

全等三角形辅助线

常见辅助线的作法有以下几种：

遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．

遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．

一、倍长中线（线段）造全等

1：（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.

2：如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

提示：延长FD至M，使FD=DM，连接BM，EM，证EF=EM

三角形辅助线全文共1页，当前为第1页。

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_A3：如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.

_

A

_

E

_

D

_

C

_

B

28．如图，AP∥BC，PAB的平分线与CBA的平分线相交于E，CE的延长线交AP于D，

求证：(1)AB=AD+BC

C(2)若BE=3，AE=4，求四边形ABCD的面积?

C

中考应用

（09崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．

（1）如图①当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，

线段AM与DE的数量关系是；

（2）将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(090)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

二、截长补短

1.如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CD⊥AC

三角形辅助线全文共2页，当前为第2页。2：如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD

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A

A

B

C

D

E

3：如图，已知在△内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP

4：如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求证：

在BC上截取ＢＥ＝ＢＡ

5:如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC

AB+APPB………(1)

AC+APPC………(2)

(1)-(2)

AB-ACPB-PC

三角形辅助线全文共3页，当前为第3页。中考应用（08海淀一模）

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F

F

提示：在BC上截取BF=BE，得等边三角形BEF，故△ADE≌△FEC，ＡＤ＝ＥＦ＝ＢＥ

三、平移变换

1.AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为，△EBC周长记为.求证＞.

2：如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+ACAD+AE.

借助角平分线造全等

1：如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD

三角形辅助线全文共4页，当前为第4页。2：（06郑州市中考题）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.

三角形辅助线全文共4页，当前为第4页。

中考应用

（06北京中考）如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

(第

(第23题图)