第六讲---多元函数极值及其应用.docVIP

第六讲多元函数的极值及其应用

回忆上讲内容

1.多元复合函数的求导法那么；

2.隐函数的求导法那么。

本节教学内容

1.多元函数的极大值与极小值；

2.最值问题；

3.条件极值。

【教学目的与要求】

1.理解多元函数极值和条件极值的概念；

2.掌握多元函数极值存在的必要条件；

3.了解二元函数极值存在的充分条件；

4.会用拉格朗日乘数法求条件极值；

5.会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

【教学重点与难点】

1.求多元函数的最大值与最小值方法；

2.求条件极值拉格朗日乘数法.

§6.7多元函数的极值及其应用

一、极值的概念

1.定义

定义如果函数在内的任何点处都有

，

那么称函数在点处有极大值；反之，假设成立

，

那么称在点处有极小值．

函数的极大值和极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为函数的极值点.

例1函数在点处有极小值．因为对点的任一去心邻域内的任何点，都有．在这个曲面上，点低于周围的点〔图6－26〕．

图6－26

图6－26

图6－27

图6－27

例2函数在点处有极大值〔图6－27〕．因为对点的任一去心邻域内的任何点，都有．

对于简单的函数，利用极值的定义就能判断出函数的极值．而对于一般的函数，仍需要借助多元函数微分法来求出函数的极值点．

二、极值的判定

定理1(极值的必要条件)设函数在点处有极值且两个偏导数存在，那么

．

证如果取，那么函数是的一元函数．因为时，是一元函数的极值，由一元函数极值存在的必要条件，有

；

同理．

使,同时成立的点，称为函数的驻点．

这个定理可以推广到二元以上的函数．例如，如果三元函数在点处的偏导数存在，那么它在点处存在极值的必要条件为

．

由定理1知，在偏导数存在的条件下，极值点必为驻点，但驻点不一定是极值点．例如，点是的驻点，但不是极值点，因为在点的任何去心邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点．那么如何判定一个驻点是否是极值点呢？

定理2(极值存在的充分条件)设函数在内具有连续的二阶偏导数，且,，即点是函数的驻点．令

，

那么(1)当时，在点处取得极值，且当时取得极大值，时取得极小值；

(2)当时，在点无极值；

(3)当时，不能断定在点是否取得极值．

由定理1和定理2，求二元函数极值的步骤如下：

(1)解方程组

求出驻点；

(2)计算的值；

(3)根据及的符号确定是极大值点还是极小值点；

(4)求在极值点的函数值．

例3求函数的极值，其中．

解解方程组

得驻点．因为

．

所以，

在点处，，无极值；

在点处，，无极值；

在点处，，无极值；

在点处，，

故在该点取得极值，且

当时，，是极大值；当时，，是极小值．

根据定理1，极值点可能在驻点取得．然而，偏导数不存在的点，也可能是极值点．例如函数，它在点的偏导数不存在，但在该点取得极大值．因此，在讨论函数的极值时，如果函数还有偏导数不存在的点，这些点也应当加以讨论．

同一元函数一样，是函数在区域上的最大(小)值点，是指对于上的一切点都满足

．

如果函数在闭区域上连续，那么在上一定能够取得最大值和最小值．使函数取得最大值和最小值的点可能在的内部，也可能在的边界上．求的最大值、最小值的方法与一元函数相同，不再赘述．

例4造一个容积为的长方体盒子，如何设计才能使所用材料最少？

解设盒子的长为，宽为，那么高为．故长方体盒子的外表积为

．

这是关于的二元函数，定义域为．

由，，得驻点．根据问题的实际意义，盒子所用材料的最小值一定存在，又函数有唯一的驻点，所以该驻点就是取得最小值的点．即当时，函数取得最小值，也即当盒子的长、宽、高相等时，所用材料最少．

例5分别为商品的需求量，的需求函数分别为

总本钱函数，假设分别为商品的价格．试问价格取何值时可使总利润最大？

解根据经济理论，总利润=总收入－总本钱；由题意，总收入函数，

总利润函数

．

解方程组

得驻点．又因为

．

故，所以该问题唯一的驻点是极大值点，同时也是最大值点．最大利润为

．

二、条件极值〔拉格朗日乘数法〕

在上述极值问题中，除了给出函数的定义域外，对函数本身并无其它的限制．这一类极值问题称为无条件极值．然而在许多实际问题中，除了给出函数的定义域外，往往还需要对函数附加其它的限制条件．这一类极值问题那么称为条件极值．

例6某工厂生产两种型号的精密机床，其产量分别为台，总本钱函数为(单位：万元)．根据市场调查，这两种机床的需求量共8台．问应如何安排生产，才能使总本钱最小?

分析因为总本钱函数中的自变量〔即两种机床的生产量〕受到市场需求的限制，．故该问题在数学上可