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微分中值定理的应用

—洛必达法则求0 型和?型未定式的极限

0 ?

设(1)当x?0时,函数f(x)和F(x)都趋于零;

(2)在a点的某去心邻域内,f?(x)和F?(x)都存在且F?(x)?0;

(3)

lim

x?a

(x??)

f(x)存在(或无穷大),

F(x)

则

lim

f(x)

?lim

f?(x)

x?aF(x)

x?aF?(x)

注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，常与其它求极限方法结合使用，尤其是等价无穷小的替换.

例求limtanx?x

x?0

x2tanx

解原式= limtanx?x

= lim

sec2

x?1=1lim

tan2x=1

x?0 x3

x?0 3x2

3x?0 x2 3

0??,???,00,1?,?0型未定式的求法（转化为0 型和?型）

0 ?

1

例求lim(cotx)lnx. (?0)型

x?0?

1 1

解由于(cotx)lnx?elnx

?ln(cotx)

? 1 ? 1

而lim1

ln(cotx)

?lim

?

cotx sin2

1

x ?lim

?x

?cosx?sinx

??1

x?0?lnx

x?0

x

x?0

所以原式=e?1.

注意：洛必达法则的使用条件．例1求limx?cosx.

x???x

解原式=lim1?sinx

x???1

?lim(1?sinx).极限不存在

x??

（洛必达法条件不满足的情况）

正确解法为 原式=lim(1?1cosx)?1.

x???x

例2求lim[tann(?

n???4

?2)]

n

?

解设f(x)?[tanx(

?2)]，则f(n)?[tann(?

?2)]

4 x 4 n

? 2

lntan( ? )

[lim 4 x ]

1

? 2 x???

?[limxlntan(

?

因为lim f(x) ex???

x???

? )]

4 x

=e x

[lim

?

sec2(

4

?2)(?2)

x x2 ]

x??? ?1

tan(

??2) 4

?e x2

4 x =e

1

例3. lim1?ex

x?0??1

x?ex

解：设u?1，lim

1

11?ex

1

?lim 1?eu ?lim ?eu ?lim

?1

??1

t

1? 1?x2

1? 1?x2

x?0

x?0??1

x?ex

sinx?1

u???

u

?eu u????1

u2

eu u???

? 1 ?1

u2eu

解：limex

x?0

sinx?1?lim

1? 1

1? 1?x2

?ex

?sinx?1 1? ?

1?x2???

1?x2

??

??lim 1?

?

1?

1?x2

?

?ex

1?

sinx?1?

1?x2

?2limex

cosx

?lim

ex?sinx?1

x?0

x?0 x2

x?0 2x

x?0 1

例5：设函数y?f(x)在x?0的邻域内具有一阶连续导数，且f(0)?0,f/(0)?0

若af(h)?bf(2h)?f(0)在h?0时是比h高阶的无穷小，求a,b计算导数

二函数的单调性与曲线的凹凸性

设函数y?f(x)在[a,b]上连续?在(a,b)内可导?

如果在(a,b)内f?(x)?0?那么函数y? f(x)在[a,b]上单调增加?

如果在(a,b)内f?(x)?0?那么函数y? f(x)在[a