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最优捕鱼策略

1、基本假设如下:

(1)只考虑这一种鱼的繁殖和捕捞,鱼群增长过程中不考虑鱼的迁入和迁出。

(2)各年龄组的鱼在一年内的任何时间都会发生自然死亡。

(3)所有的鱼都在每年最后的四个月内完成产卵和孵化的过程。孵化成活的幼鱼在下一年初成为一龄的鱼,进入一龄鱼组。

(4)产卵发生于后四个月之初,产卵期鱼的自然死亡发生于产卵之后。

(5)相邻两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的变化是连续的,也就是说,第k年底第i年龄组的鱼的条数等于第k+1年初第i+1年龄组鱼的条数。

(6)四龄以上的鱼全部死亡。

(7)采用固定努力量捕捞意味着捕捞的速率正比于捕捞时各年龄组鱼群中鱼的条数,比例系数为捕捞强度系数。

2、符号和数据

符号

t——时间(以年计),t∈R+;

k——年份,k=0,1,2,?N(k)

i——第k+1年初i龄鱼总条数,N(k)i∈R+;

xi(t)——t时刻i年龄组的鱼群的大小;

r——鱼的自然死亡率;

fi——i年龄组鱼的产卵力;

wi——i年龄组鱼的平均重量;

Ei——i年龄组的捕捞强度系数;

ai——i龄鱼的生育率,即平均每条i龄鱼在一年内生育的鱼数,ai≥0;

bi——i龄鱼的存活率,即i龄鱼经过一年后到i+1龄鱼数与原鱼数之比,0bi1,i=1,2,3;

n——年产卵总量;

b0——卵成活率;

R——净繁殖率,它表示平均每条鱼一生所产卵并成活为1龄鱼的条数。

3、解题过程

（1）设N(k)={N(k)1,N(k)2,N(k)3,N(k)4}T;

X(t)={x1(t),x2(t),x3(t),x4(t)}T;

(f1,f2,f3,f4)T=(0,0,0.5c0,c0)T;

{W1,W2,W3,W4}T=(5.07,11.55,17.86,22.99)T;

(E1,E2,E3,E4)T=(0,0,0.42E,E),称E为捕捞努力量;

r=0.8,S=2/3(产卵时刻),c0=1.109×105,c1=1.220×1011,c2=exp(-r)=0.44933,c3=exp(-rS)=0.58665.

（2）鱼生长期是连续的,组建微分方程组模型:

dX(t)/dt=f(X),t∈[0,+∞).

来描述鱼死亡随时间连续发生并具有季节性的繁殖和捕捞。

（3）无捕捞时的鱼群增长

只考虑死亡对种群变化的影响,则在[t,t+$t]这段时间内鱼类种群由死亡产生的变化量为X(t)-X(t+$t),单位时间的死亡量是[X(t)-X(t+$t)]/$t.当它与鱼群的大小成正比时应该有关系[X(t)-X(t+$t)]/$t=rX(t),这个关系应该对任何的时间间隔$t都成立。于是,令$t→0就得到方程

dxi(t)/dt=-rxi-Eixi,t∈[0,S];

dxi(t)/dt=-rxi,t∈[S,1];xk+1i(0)=N(k)i,i=1,2,3,4,k=0,1,2,?;

x(k+1)i+1(0)=x(k)i(1),i=1,2,3,k=0,1,2,?;

x(k+1)1(0)=c1x(k)0(S)/[c1+x(k)0(S)];

n=x(k)0(S)=0.5c0x(k)3(S)+c0x(k)4(S).

(1)鱼群的增长

求解式(5a)和式(5b),并注意到初始条件式(6)

和连续性条件式(7)可得:

n=c0c3{0.5N(k)3exp(-0.28E)+N(k)4exp(-SE)};b0=c1/(c1+n);

a3=0.5c0c3b0exp(-0.28E);a4=c0c3b0exp(-SE);

b1=c2;b2=c2;b3=c2exp(-0.28E).

(2)捕捞量

单位时间第i年龄组鱼的捕捞量(条数):

yi(t)=Eixi(t),t∈[0,S].

第k年全年(8个月)第i年龄组鱼的捕捞量(条数):