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高中数学“幂函数”教学设计

【关键词】高中数学；方法引领；教学设计；幂函数

一、教学内容分析

本节课的内容选自苏教版普通高中数学教材必修一第6章第1节，是第5章《函数》内容的延续和深化，也是函数思想方法应用的具体化。学生在初中时已经接触过y=x，y=x2，y=x-1等函数，对这些函数有一定的认知基础和研究经验。教学时，教师可以引导学生梳理已有经验，帮助学生学会从数和形两个角度来研究幂函数的性质。这样的研究方式对后续内容的学习起着引领、指导和组织的作用，能够帮助学生建立研究函数模型的方法范式，从而实现数学知识和方法的自然延拓。

二、教学目标设置

1.了解幂函数的概念，会画出y=x，y=x2，y=x3，y=x-1，y=x[12]等幂函数的图象；

2.了解几个常见的幂函数的性质，会利用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数幂值的大小；

3.经历探究幂函数图象与性质的过程，明确研究一类函数模型的基本方法，进一步体会数形结合、特殊与一般等数学思想，培养直观想象、数学抽象、逻辑推理等数学学科核心素养。

三、学情分析

1.学生已有的认知基础

本节课的授课对象是江苏省四星级普通高中高一学生，在知识结构上，他们在初中时已经研究了一次函数、二次函数、反比例函数等初等函数，在高中又学习了函数的概念及简单性质，已经积累了研究函数的初步知识基础。在经验方法上，他们经历了对y=x，y=x2，y=x-1等函数的初步学习，已经拥有了研究函数的基本经验，并具备一定的观察、分析、抽象、概括能力。

2.达成目标所需的认知基础

在探究幂函数性质的过程中，需要学生对数形结合思想有较深刻的认识和理解，有较强的直观想象、逻辑推理能力和良好的独立思考、合作交流等学习习惯。

四、教学过程设计

1.复习回顾，方法引领

【课堂引导语】函数概念的分析，为探索种种运动规律提供有力工具，教给人们如何依据已有的经验去预测未来的事物，从而进一步获得自然界的科学知识，从千姿百态的现象中总结出反映本质的基本规律。——普林希姆

问题1：在以往的学习中，我们学习过函数的哪些基本内容？

在初中，学生学习过一些具体的函数，比如一次函数、二次函数和反比例函数等，y=x，y=x2，y=x-1是其中的特例；在高中，学习过函数的一些基本性质，比如：定义域、值域、奇偶性和单调性等。结合初高中所学，可以得到表1。

问题1.1：表1中函数y=x2的奇偶性可以如何得到？

问题1.2：表1中函数y=x2的单调性可以如何得到？

问题1.3：函数y=x2的奇偶性和单调性之间有什么联系？对我们研究新的函数有什么启发？

上述问题的答案可以通过观察y=x2图象特点得到，即“以图识性”，这是初中研究函数最常用的方法；也可从解析式出发，即“依性作图”，这是学生在进入高中学习后新习得的方法。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，为“对称取点”作图埋下伏笔，也为学习“研究单调性时只需研究定义域的‘一半”作铺垫。后续学生可以从这两个角度来研究y=x3，y=x[12]，y=x-2这3个具体函数。

【设计意图】上述教学首先通过普林希姆的话，引出本节课的教学任务：在函数学习中，要善于根据已有的学习经验和思想方法，进行适当的迁移，进一步研究未知的知识。然后通过问题串，引导学生回顾函数相关知识并明确研究函数的两种方法，体会函数图象与性质间的对应关系，为研究幂函数作铺垫。

2.归纳特征，构建概念

问题2：这六个函数的解析式有什么共同特征？你能概括出它们的一般形式吗？

【设计意图】从特殊到一般，引导学生直观感受幂函数的结构，并用数学语言抽象出幂函数的定义：一般地，我们把形如y=xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数。

3.合作探究，归纳性质

问题3：你能根据已有的学习经验来研究y=x3，y=x[12]，y=x-2的图象和性质吗？说说你的设想。

【探究活动1】初探函数y=x3，y=x[12]，y=x-2的性质。

函数的定义域决定了函数的“宽度”，值域决定了函数的“高度”，奇偶性反映了函数的对称性，单调性反映了函数的变化趋势。学生通过自主探究、小组讨论，先从解析式入手，能够得到三个函数的定义域、值域、奇偶性，即“依性作图”。

【设计意图】高中数学教学提倡独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式。上述教学放手让学生自主探究：定义域、值域、奇偶性可以依据定义从数的角度判断，而单调性借助图象判断更加直观。经过充分的探究，学生能够建立统一的观点：具有奇偶性的函数，先研究定义域的“一半”，“另一半”由对称性得到。

【探究活动2】画出函数y=x3，y=x[12]的图象。

学生在小组内讨论交流，展示图象，说明画法，并回答以