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2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练一

数学

参考答案与评分标准

一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

B

D

C

B

A

C

D

二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

题号

9

10

11

答案

ABC

CD

ABD

三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.13.14.;（第一空2分，第二空3分）

四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

（1）由于，故，，（1分）

故数列是首项为1，公差为1的等差数列，因此.（2分）

，当时，.

故.（3分）又，，故，（4分）

因此，（5分）.当时，同样成立.（6分）

综上，.（7分）

（2）由于，，故.（8分）

.（9分）

设，（10分）

则.（11分）

，得.（12分）

整理得.（13分）

16.（15分）

（1）由余弦定理，，,（1分）

，因此.（2分）

故.（3分）

整理得.

由于，故.（4分）

因此，当且仅当时取等.（5分）

综上，的最小值为4.（6分）

（2）设，，则，

，.（7分）

由正弦定理，，整理得.

解得或.（8分）由于，故.

因此，.故.（9分）

，因此.

，因此.（10分）

以A为原点，建立图示的空间直角坐标系.

则.（11分）

,

设平面PAB的法向量为，则

因此.设，则.故.（12分）

,,

设平面PBD的法向量为，则.

因此.令，则.故.（13分）

.（14分）

设二面角的平面角为，可知为锐角，因此.故.

综上，余弦值为.（15分）

17.（15分）

（1）设事件A=第一次抽到数字1，事件B=第二次抽到数字4，（1分）因此

,,,（3分）

,（5分）

因此.（6分）

（2）X的可能取值为2,3,4；（7分）

若X=2,则初始值为2的卡片抽到两次，初始值为3的卡片抽到一次，或初始值为1的卡片抽到两次，初始值为2的卡片抽到一次.（8分）

因此；（9分）

若X=4，则可能三次抽到同一张初始值为2,3或4的卡片，或三次分别抽到初始值为2,3,4的卡片，或两次抽到初始值为4的卡片一次抽到初始值为3的卡片，或两次抽到初始值为3一次抽到初始值为2的卡片,或两次抽到初始值为2的卡片，一次抽到初始值为4的卡片.

（10分）

因此.（11分）

故.（12分）

分布列为

X

2

3

4

P

（14分）

.（15分）

18.（17分）

（1）的焦距为，故，.（1分）

过点的直线与交于两点，当平行于轴时，直线的方程为.点关于轴对称，且，故.（2分）

带入双曲线的方程，得.又，解得.（4分）

因此.（5分）

（2）当的斜率不存在时，不妨设，，点在直线上，故与不可能相等，故不成立.因此的斜率一定存在.（6分）

设，

，整理得.（7分）

且，解得且.（8分）

设，故，.（9分）

设线段的中点坐标为，则，.（10分）

故线段的中垂线为.（11分）

将带入，解得.

因此.（12分）

是以为斜边的等腰直角三角形，故点到的距离.

；（13分）

.（14分）

因此，（15分）

整理得.

化简得.由于，故.（16分）

因此.（17分）

19.（17分）

（1），（1分）

①当时，，因此在上单调递增；（2分）

②当时，可知在上单调递减，令，解得.（3分）

因此当时，，单调递增；当时，，单调递减；（4分）

综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增；在上单调递减.（5分）

（2）（ⅰ），即.

设，将式子中的与互换，得.化简后即得.()

因此曲线与的图像关于直线对称.

因此等价于.

由于，因此在上恒成立.

设，

，令，解得.

在上单调递减，在上单调递增.

当时，的最小值为.

，解得;

（ⅱ）同理，，故只需.

整理得.

设，.

令，.

，当时，；当时，.

,,,

因此存在，使得.

因此在上单调递减，上单调递增，上单调递减.

，.

由于，故的最大值为.

因此.