高等数学下册第12章习题1.docxVIP

北方工业大学高等数学习题集

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北方工业大学 成绩

《高等数学》练习册

姓名

第十二章

练习一：数项级数

班级

学号

序号

一．选择与填空题

1．给定以下命题

①若??

(u ?u )收敛，则??

2n?1 2n

u 收敛；

n

n?1 n?1

②若??

u 收敛，则??

n

u

n?100

收敛； ③若limu

n?? n

?a?0，则??

u 发散；

n

n?1 n?1 n?1

④若??

(u ?v

n n

)收敛，则??

、??

n

都收敛；

n

n?1 n?1 n?1

则以上命题正确的是 ［ ］．

A．①②； B．②③； C．③④； D．①④

2．若??

、??

2n

2

收敛，则??ab

2n nn

2

［ ］．

n?1 n?1 n?1

A．发散； B．条件收敛； C．绝对收敛； D．收敛性不定．

设a为常数，则级数??

n?1

(?1)n(1?cos

a) ［ ］．

n

A．发散； B．条件收敛； C．绝对收敛； D．敛散性与a有关．

?级数?

?

n?1

(?1)n?1

(p

np

?0)敛散性为 ［ ］．

A．p?1时绝对收敛, p?1时条件收敛；B．p?1时绝对收敛，p?1时条件收敛；

C．p?1时发散，p?1时收敛； D．对任何p?0时，均绝对收敛．

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n如果级数??

n

n?1

a 的部分和为常数a，则a1? ，an? （n?1时）．

6．若??

a ?1，则??

n

(a ?a

n

n?1

)? ．

n?1 n?1

7．设{s

}为级数??

a 的部分和，且??

s 收敛，则??

a ? ．

n

二．计算题

n n n

n?1 n?1 n?1

判别下列级数的敛散性，若收敛，求其和：

（1）??

n?1

n

．

(n?1)!

（2）1?1?1? 1

3 5 32 10

?1? 1

33 15

???1

3n

1

? ??．

5n

判别下列正项级数的敛散性：（1）??

n?1

1 ．2n?(?1)n

?（2）?

?

n?1

1 1?an

(a?0)．

（3）??

n?1

ntan? ．

3n

（4）??

n?1

1 ．[ln(n?1)]n

?（5）?

?

n?1

3nn!

．

nn

判别下列级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？

（1）??

n?2

(?1)n?1．

lnn

（2）??

(?1)n?2．

n?1

(?1)n?12n

四．证明题

n!

利用级数收敛的必要条件证明：lim

n??nn

?0．