非对称韦达定理常用处理技巧-学生版.pdf

知识与方法非对称韦达定理常用处理技巧

将直线的方程与圆锥曲线方程联立，消去y，得到关键方程(设方程的两根为x和x)，在某些问题中，可能

12

会涉及到需计算两根系数不相同的代数式.例如，运算过程中出现了x-2x、2x+3x等结构，且无法直接

1212

通过合并同类项化为系数相同的情况处理，像这种非对称的结构，通常是无法根据韦达定理直接求出的，此

时一般的处理技巧是抓住x+x和xx的关系将两根积向两根和转化，通过局部计算、整体约分的方法解

1212

决问题.请同学们通过本节的一些考题来感悟这种运算技巧.

1.典型例题

1(★★★★)

如下图所示，椭圆有两个顶点A-1,0，B1,0，过其焦点F0,1的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x



轴交于点P，直线AC与BD交于点Q.

32

(1)当CD=时，求直线l的方程；



2



(2)当P点异于A、B两点时，证明:OP⋅OQ为定值.

1

2(★★★★)22

已知椭圆C:x+3y=3，过点D1,0且不过点E2,1的直线与椭圆C交于A、B两点，直线AE与直线x



=3交于点M.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；

(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由.

2.强化训练

1(★★★★)

22

xy2

已知椭圆C:+=1ab0过点P2,2，且离心率为.

222

ab

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆C的上、下顶点分别为A、B，过点P0,4斜率为k的直线与椭圆C交于M、N两点.求证：直线



BM与AN的交点G在定直线上.

2

2(★★★★)

22

xy

已知F为椭圆+=1的右焦点，A、B分别为其左、右顶点，过F作直线l交椭圆于不与A、B重合的

43

M、N两点.

(1)当l斜率为1时，求四边形AMBN的面积S；

k1

(2)设直线AM、BN的斜率分别为k和k，求证：为定值.