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数学建模题目及详细答案

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2

09级数模试题

1.把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几

次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个

15分)

现象。解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。

因此对这个问题我们假设：

(1)地面为连续曲面

(2)长方形桌的四条腿长度相同

(3)相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的

(4)方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。那么，总可以让桌子的三条腿是同时

接触到地面。

现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角

坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在、、、处，、、

ABCDAB,CD

的初始位置在与x轴平行，再假设有一条在x轴上的线ab,则ab也与

、，、平行。当方桌绕中心旋转时，对角线与轴的夹角

ABCD0abx

记为。

容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确

定的。为消除这一不确定性，令f()为、离地距离之和，

AB

g()为、离地距离之和，它们的值由唯一确定。由假设()，

CD1

f()g()均为的连续函数。又由假设()，三条腿总能同时着地，故f()g()=0必成立(

,3

不妨设f(0)0,g(0)0g(若g(0)也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转)，于是问题

归

结为：

已知f()g()均为的连续函f(0)0g(0)0且对任意有f()g(

,数，,00)0，求证存

在某一，使f()g()0。

000

θπf()0g()0h()f()g()h()

证明：当时，与互换位置，故，。作，显然，

=ABCD

f(0)g(0)0而h()f()g()0，由连续函数的取零值定

也是的连续函数，h(0)

理，存在0，00，使得h(0)0，即f(0)g(0)。又由于f(0)g(0)0，故必有

f(0)g(0)0，证毕。

2.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，

333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的

委员数。(15分