课时分层作业15　椭圆的标准方程及性质的应用.doc

课时分层作业(十五)椭圆的标准方程及性质的应用

一、选择题

1．若直线y＝kx＋2与椭圆eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1相切，则斜率k的值是()

A．eq\f(\r(6),3) B．－eq\f(\r(6),3)

C．±eq\f(\r(6),3) D．±eq\f(\r(3),3)

C[把y＝kx＋2代入eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1，得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，因为直线与椭圆相切，∴Δ＝(12k)2－4(3k2＋2)×6＝0，解得k＝±eq\f(\r(6),3).]

2．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为eq\f(π,3)的弦AB，则弦AB的长为()

A．eq\f(6,7) B．eq\f(16,7)

C．eq\f(7,16) D．eq\f(7,6)

B[易求得直线AB的方程为y＝eq\r(3)(x＋eq\r(2)).

由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)(x＋\r(2))，,x2＋2y2＝4))消去y并整理，得7x2＋12eq\r(2)x＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq\f(12\r(2),7)，x1x2＝eq\f(8,7).

由弦长公式，得|AB|＝eq\r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq\r(1＋(\r(3))2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12\r(2),7)))\s\up12(2)－4×\f(8,7))＝eq\f(16,7).]

3．在椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1内，过点M(1，1)且被该点平分的弦所在的直线方程为()

A．9x－16y＋7＝0 B．16x＋9y－25＝0

C．9x＋16y－25＝0 D．16x－9y－7＝0

C[设弦的两个端点的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则有eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),16)＋eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),9)＝1，eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),16)＋eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),9)＝1，两式相减，又x1＋x2＝y1＋y2＝2，

因此eq\f(x1－x2,16)＋eq\f(y1－y2,9)＝0，即eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(9,16)，所求直线的斜率是－eq\f(9,16)，

弦所在的直线方程是y－1＝－eq\f(9,16)(x－1)，即9x＋16y－25＝0，故选C.]

4．设F1，F2是椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝eq\f(3a,2)上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为()

A．eq\f(1,2) B．eq\f(2,3)

C．eq\f(3,4) D．eq\f(4,5)

C[如图所示，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则有

|F1F2|＝|PF2|，∠PF1F2＝∠F2PF1

所以∠PF2A＝60°，∠F2PA＝30°

所以|PF2|＝2|AF2|＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)a－c))＝3a－2c.

又因为|F1F2|＝2c，所以，2c＝3a－2c，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,4).]

5．已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()

A．eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1 B．eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1

C．eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,18)＝1 D．eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1

D[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率k＝eq\f(－1－0,1－3)＝eq\f(1,2)，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),a2)＋\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1