课时分层作业10　基本不等式的证明.docx

课时分层作业(十)基本不等式的证明

一、选择题

1．下列不等式中正确的是()

A．a＋eq\f(4,a)≥4 B．a2＋b2≥4ab

．eq\r(ab)≥eq\f(a＋b,2) D．2＋eq\f(3,2)≥2eq\r(3)

D[a0，则a＋eq\f(4,a)≥4不成立，故A错；

a＝1，b＝1，a2＋b24ab，故B错；

a＝4，b＝16，则eq\r(ab)eq\f(a＋b,2)，故错；

由基本不等式可知D项正确．]

2．(多选题)已知a0，b0，则下列不等式中正确的是()

A．ab≤eq\b\l\(\r\)(\a\vs4\al\1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2) B．ab≤eq\f(a2＋b2,2)

．eq\f(1,ab)≥eq\f(2,a2＋b2) D．eq\f(1,ab)≤eq\b\l\(\r\)(\a\vs4\al\1(\f(2,a＋b)))eq\s\up12(2)

AB[由基本不等式知A、B、正确，由eq\f(a2＋b2,2)≥ab得，ab≤eq\b\l\(\r\)(\a\vs4\al\1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)，∴eq\f(1,ab)≥eq\b\l\(\r\)(\a\vs4\al\1(\f(2,a＋b)))eq\s\up12(2)．]

3．若a，b∈R且ab0，则下列不等式中恒成立的是()

A．a2＋b22ab B．a＋b≥2eq\r(ab)

．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)eq\f(2,\r(ab)) D．eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2

D[∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误；

对于B，，当a0，b0时，显然错误；

对于D，∵ab0，∴eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，

当且仅当a＝b＝1时，等号成立．]

4．若0ab且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是()

A．eq\f(1,2) B．a2＋b2

．2ab D．a

B[a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2eq\b\l\(\r\)(\a\vs4\al\1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,2)，

a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab．

∵0ab且a＋b＝1，∴aeq\f(1,2)，∴a2＋b2最大．]

5．当＞0时，f()＝eq\f(2,2＋1)的最大值为()

A．eq\f(1,2) B．1

．2 D．4

B[∵＞0，∴f()＝eq\f(2,2＋1)＝eq\f(2,＋\f(1,))≤eq\f(2,2)＝1，

当且仅当＝eq\f(1,)，即＝1时取等号．故选B．]

二、填空题

6．已知ab，则eq\r(?a－b??b－?)与eq\f(a－,2)的大小关系是．

eq\r(?a－b??b－?)≤eq\f(a－,2)[∵ab，

∴a－b0，b－0，

∴eq\r(?a－b??b－?)≤eq\f(?a－b?＋?b－?,2)＝eq\f(a－,2)．]

7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率与增长率的平均值eq\f(a＋b,2)的大小关系为．

≤eq\f(a＋b,2)[用两种方法求出第三年的产量分别为

A(1＋a)(1＋b)，A(1＋)2，

则有(1＋)2＝(1＋a)(1＋b)．

∴1＋＝eq\r(?1＋a??1＋b?)≤eq\f(1＋a＋1＋b,2)＝1＋eq\f(a＋b,2)，

∴≤eq\f(a＋b,2)．当且仅当a＝b时等号成立．]

8．若＞1，则eq\f(2－＋9,－1)的最小值为，取得最小值时＝．

74[若＞1，则eq\f(2－＋9,－1)＝＋eq\f(9,－1)＝－1＋eq\f(9,－1)＋1≥2eq\r(?－1?·\f(9,－1))＋1＝7，

当且仅当－1＝eq\f(9,－1)，即＝4时，等号成立，

因此当＝4时，eq\f(2－＋9,－1)取得最小值7．]

三、解答题

9．已知ab，求(a－)eq\b\l\(\r\)(\a\vs4\al\1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－)))的最小值．

[解](a－)eq\b\l\(\r\)(\a\vs4\al\1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－)))

＝(a－b＋b－)eq\b\l\(\r\)(\a\vs4\al\1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－)))

＝1＋1＋eq\f(b－,a－b)＋eq\f(a－b,b－)．

∵ab，