课时分层作业16　双曲线的标准方程.doc

课时分层作业(十六)双曲线的标准方程

一、选择题

1．已知平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是()

A．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1 B．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1(x≥4)

C．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 D．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x≥3)

D[由题意知，轨迹应为以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线的右支．由c＝5，a＝3，知b2＝16，

∴M点的轨迹方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x≥3).]

2．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(eq\r(5)，0)和(－eq\r(5)，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为()

A．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1

C．eq\f(x2,4)－y2＝1 D．x2－eq\f(y2,4)＝1

C[由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|PF1|·|PF2|＝2，,|PF1|2＋|PF2|2＝(2\r(5))2，))

?(|PF1|－|PF2|)2＝16，

即2a＝4，解得a＝2，又c＝eq\r(5)，所以b＝1，故选C.]

3．已知F是双曲线C：x2－eq\f(y2,3)＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为()

A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)

C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,2)

D[因为F是双曲线C：x2－eq\f(y2,3)＝1的右焦点，

所以F(2，0).

因为PF⊥x轴，所以可设P的坐标为(2，yP).

因为P是C上一点，所以4－eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(P)),3)＝1，解得yP＝±3，

所以P(2，±3)，|PF|＝3.

又因为A(1，3)，所以点A到直线PF的距离为1，

所以S△APF＝eq\f(1,2)×|PF|×1＝eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2).故选D.]

4．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2等于()

A．eq\f(1,4) B．eq\f(3,5)

C．eq\f(3,4) D．eq\f(4,5)

C[双曲线的方程为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1，

所以a＝b＝eq\r(2)，c＝2，

因为|PF1|＝2|PF2|，

所以点P在双曲线的右支上，

则有|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，

所以解得|PF2|＝2eq\r(2)，|PF1|＝4eq\r(2)，

所以根据余弦定理得

cos∠F1PF2＝eq\f((2\r(2))2＋(4\r(2))2－16,2×2\r(2)×4\r(2))＝eq\f(3,4).]

5．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则P到x轴的距离为()

A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(6),2)

C．eq\r(3) D．eq\r(6)

B[∵||PF1|－|PF2||＝2，

∴|PF1|2－2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4，

∴|PF1|2＋|PF2|2＝4＋2|PF1||PF2|，

由余弦定理知

|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2＝2|PF1||PF2|cos60°

又∵a＝1，b＝1，

∴c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(2)，

∴|F1F2|＝2c＝2eq\r(2)，

∴4＋2|PF1||PF2|－8＝|PF1||PF2|，

∴|PF1||PF2|＝4，

设P到x轴的距离为|y0|，

S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sin60°

＝eq\f(1,2)|F1F2||y0|，

∴eq\f(1,2)×4×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)|y0|，

∴y0＝eq\f(\r(3),\r(2))＝eq\f(\r(6),2).]

二、填空题

6．若方程eq\f(x2,2－m)＋eq\f(y2,|m|－3)＝1表示双