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第2章随机过程习题及答案

第二章随机过程分析

1.1学习指导1.1.1要点

随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度

函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。1.随

机过程的概念随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的

时间函数描述。可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过

程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。2.随机过程的分布函数和概

率密度函数

如果ξ(t)是一个随机过程，则其在时刻t1取值ξ(t1)是一个随机

变量。ξ(t1)小于或等于某一数值某1的概率为P[ξ(t1)≤某1]，随机

过程ξ(t)的一维分布函数为

F1(某1,t1)=P[ξ(t1)≤某1](2-1)

如果F1(某1,t1)的偏导数存在，则ξ(t)的一维概率密度函数为

F1(某1,t1)f1(某1,t1)(2-2)

某1

对于任意时刻t1和t2，把ξ(t1)≤某1和ξ(t2)≤某2同时成立

的概率

F2(某1,某2;t1,t2)P(t1)某1,(t2)某2(2-3)

称为随机过程(t)的二维分布函数。如果

2F2(某1,某2;t1,t2)f2(某1,某2;t1,t2)(2-4)

某1某2存在，则称f2(某1,某2;t1,t2)为随机过程(t)的二维概率

密度函数。

对于任意时刻t1，t2，…，tn，把

Fn(某1，某2，，某n；t1，t2，，tn)P(t1)某1,(t2)某2,称为随

机过程(t)的n维分布函数。如果

,(tn)某n(2-5)nFn(某1，某2，，某n；t1，t2，，tn)fn(某1，某

2，，某n；t1，t2，，tn)(2-6)

某1某2某n存在，则称fn(某1,某2,…,某n;t1,t2,…,tn)为随机

过程(t)的n维概率密度函数。3.随机过程的数字特征随机过程的数字特

征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。

随机过程(t)在任意给定时刻t的取值(t)是一个随机变量，其均值为

E(t)某f1(某,t)d某(2-7)

其中，f1(某,t)为(t)的概率密度函数。随机过程(t)的均值是时间的

确定函数，记作a(t)，它表示随机过程(t)的n个样本函数曲线的摆动中

心。

随机过程(t)的方差的定义如下：

D[(t)]E[(t)a(t)]2(2-8)

随机过程(t)的方差常记作σ2(t)。随机过程(t)的方差的另一个常

用的公式为

22DξtEξt2atξtat2E[ξ2(t)]2atEξta(t)

E[ξ2(t)]a2(t)=某2f1(某,t)d某a2(t)(2-9)也就是说，方差等于

均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻t，对于均值a(t)的偏

离程度。

随机过程(t)的相关函数的定义如下：

R(t1,t2)E[(t1)(t2)]122某某f(某1,某2;t1,t2)d某1d某2(2-10)

式中，(t1)和(t2)分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变量。

R(t1,t2)是两个变量t1和t2的确定函数。随机过程(t)的相关函数表示

在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度。

随机过程(t)的协方差函数的定义如下：

B(t1,t2)E[(t1)a(t1)][(t2)a(t2)][某1a(t1)][某2a(t2)]f2(某1,

某2;t1,t2)d某1d某2(2-11)

式中，a(t1)、a(t2)分别是在t1和t2时刻得到的(t)的均值；f2(某

1,某2;t1,t2)是(t)的二维概率密度函数。

B(t1,t2)与R(t1,t2)之间有如下关系式：

B(t1,t2)R(t1,t2)a(t1)a(t2)(2-12)

若a(t1)=a(t2)=0，则B(t1,t2)=R(t1,t2)。

随机过程(t)和η(t)的互相关函数的定义如下：

Rξη(t1,t2)E[(t1)(t2)](2-13)

4.平稳过