三角函数与导数结合.pdfVIP

以三角函数为载体的导数压轴题汇编

1．已知函数f(x)exsinxax．

（1）当a0时，求曲线yf(x)在(0,f(0))处的切线方程；

（2）当a0时，判断f(x)在[0,3]上的单调性，并说明理由；

4

（3）当a1时，求证：x[0,3]，都有f(x)0．

4

分析：

（1）根据题意，当a0时，f(x)exsinx，计算其导数进而可得f(0)1，又由

f(0)e0sin00，由直线的点斜式方程计算可得答案；

（2）根据题意，求出f(x)的导数，由a的范围，结合函数的单调性与函数导数的关系分析可

得结论；

（3）根据题意，分a0与0a1两种情况讨论，利用导数分析函数的单调性与最小值，综

合即可得答案．

解答：

(1)当a0时，f(x)exsinx，

x

则有f(x)e(sinxcosx)，则f(0)1．

又f(0)e0sin00，

所以曲线yf(x)在(0,f(0))处的切线方程为yx；

(2)因为f(x)exsinxax，



xx

所以f(x)e(sinxcosx)a2esin(x)a，

4

3

因为x[0,]，所以x[,]．

444



所以2exsin(x)0，所以当a0时，f(x)0，

4

3

所以f(x)在区间[0,]单调递增；

4

3

(Ⅲ)证明：由(Ⅱ)可知，当a0时，f(x)在区间[0,]单调递增，

4

3

所以x[0,]时，f(x)f(0)0．

4

当0a1时，设g(x)f(x)，

xxx

则g(x)e(sinxcosx)e(cosxsinx)2ecosx，

g(x)，g(x)x

随的变化情况如下表：



33

x0(0,)(,)

22244

g(x)＋0