2024年中考数学压轴题型（全国通用）专题07 二次函数中特殊四边形存在性（五大题型）90专练（教师版）.docxVIP

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专题07二次函数中特殊四边形存在性（五大题型）90专练

通用的解题思路：

题型一：平行四边形的存在性

解题策略：

1.直接计算法根据平行四边形对边平行且相等，按这条线段为边或为对角线两大类，分别计算

（适用于：已知两点的连线就在坐标轴上或平行于坐标轴）

2.构造全等法过顶点作坐标轴的垂线，利用对边所在的两个三角形全等，把平行且相等的对边转化为水平或者垂直方向的两条对应边相等

（适用于：已知两点的连线，不与坐标轴平行，容易画出草图）

3.平移坐标法

利用平移的意义，根据已知两点间横、纵坐标的距离关系，得待定两点也有同样的数量关系。

（适用于：直接写出答案的题）

题型二：菱形存在性

由于菱形是一组邻边相等的平行四边形，因此解决菱形存在性问题需要综合运用平行四边形和等腰三角形存在性问题的方法。

题型三：矩形存在性

由于矩形是含90度角的平行四边形，因此解决矩形存在性问题需要综合运用平行四边形和直角三角形存在性问题的方法。

题型四：正方形存在性

由于正方形即是矩形又是菱形，因此解决正方形存在性问题需要灵活选用所有存在性问题的方法。

题型五：梯形存在性

解梯形的存在性问题一般分三步：

第一步分类，第二步画图，第三步计算．

一般是已知三角形的三个顶点，在某个图象上求第四个点，使得四个点围成梯形．过三角形的每个顶点画对边的平行线，这条直线与图象的交点就是要探寻的梯形的顶点．

因为梯形有一组对边平行，因此根据同位角或内错角，一定可以构造一组相等的角，然后根据相似比列方程，可以使得解题简便．

题型一：平行四边形的存在性

1．（2024·甘肃武威·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，与轴交于点，且．

(1)求此抛物线的表达式；

(2)已知抛物线的对称轴上存在一点，使得的周长最小，请求出点的坐标；

(3)连接，点是线段上一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求当四边形为平行四边形时点的坐标．

【答案】(1)

(2)

(3)则点P的坐标为：）或

【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，轴对称最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质的综合，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．

（1）根据二次函数解析式可求出，可得点的坐标，运用交点式即可求解二次函数解析式；

（2）根据抛物线的解析式可得点的对称点为点，结合轴对称最短路径可得的周长为最小，根据点的坐标可求出直线的解析式是，由抛物线的对称轴为，代入直线的解析式即可求解；

（3）根据平行四边形的判定和性质可得，设点，则，由此列式求解即可．

【详解】（1）解：由抛物线的表达式可知，，

∴，

∴，

∴，，，

设抛物线的表达式为：，

∴，

∴，

故抛物线的表达式为：；

（2）解：由（1）可知，抛物线的表达式为：，

∴对称轴为，

∴点关于抛物线对称轴得对称点为点，

∴交抛物线的对称轴于点即为所求点的位置，即的周长为最小，

已知，，

设直线的解析式为：，

∴，

解得，，

∴直线的解析式为：，

∵抛物线的对称轴为直线，

∴当时，，

则点；

（3）解：由（1）和（2）可知，抛物线的解析式为，直线的解析式为，

∴如图所示，设点，根据过点作轴的平行线交抛物线于点，四边形为平行四边形，则，

∴，

∴，

∴

解得：，，

∴当时，，即；

当时，，即

∴点的坐标为：）或．

2．（2024·江苏宿迁·一模）材料一；《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索题发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在数学学习和研究中，我们经常会用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法，请利用上述有关思想，解答下列问题．

材料二：分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种解题策略，在数学中的应用相当多，它能使许多看似非常复杂的问题简单化．因此在用分类讨论解决数学问题时要遵循一定的规则，注意合理的分类，对全体对象的分类必须做到不重复、不遗漏，每次分类必须保持在同一标准．

请阅读上述材料，完成题目：

如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为，交直线于点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；

(3)点是抛物线对称轴与轴的交点，点是轴上一动点，点在运动过程中，若以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标．

【答案】(1)；

(2)存在．的最大值为；

(3)点坐标为或或，．

【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；

（2）设，则，则，根据三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质解决问题；

（3）先求出抛物线的对称轴为直线得到，讨论：当时，则，利用