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折叠问题专题

【轴对称（折叠）思考层次全貌】

1.全等变换：对应边相等、对应角相等．

2.对称轴性质：对称轴上的点到对应点的距离相等，对应点所连线段被对称轴垂直平分．

3.组合搭配：矩形背景下常出现等腰三角形、两次折叠常出现直角，60°角、折叠会出现圆弧等．

4.作图：核心是找到对应点，作对应点连线的垂直平分线（折痕），补全图形．

【要求】

①读一读操作要领，按照操作要领去做题，思路受阻时回头再看操作要领，做完题对照操作要领思考一步步是如何进行操作的；

②做题时，需要执行读题标注（如目标、条件），观察特征，验证取舍等动作．

【第一次训练】操作要领：

遇折叠，考虑全等变换；找折痕（对称轴），利用对应边相等，对应角相等转移条件，表达线段长，利用勾股定理（或相似、三角函数）建方程；做题时常借助背景图形提供的角度、线段长，对条件进行转移、表达．

ADMFNBEC【例题1】如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN

A

D

M

F

N

B

E

C

分析思路：

1.读题标注、转化；

正方形，折叠，中点，目标，如右图所示

2.背景图形；

边长为8的正方形；

3.分析条件，组合特征；

折叠是全等变换 对应边相等，对应角相等；

EN=DN； +NC=DN+NC=8，

转移，表达 设CN=x，则EN=DN=

4.求解目标：勾股定理列方程

在Rt△ 中，勾股定理列方程为 ，解得x= 即CN= cm．

【配套小练习】

练习1：如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，点D在BC边上，将直角边AC沿直线AD折叠，点C恰好落在斜边AB上的点E处，则线段CD的长为 ．

DEBFCC

D

E

B

F

C

B E A

练习2：如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，若AB=4cm，BC=5cm，则EF的长为 ．

【第二次训练】操作要领：

①折叠属于全等变换，找折痕，利用对应边相等，对应角相等转移条件，表达线段长，利用勾股定理建方程；

②上述思路进行不下去时，从“对称轴上的点到对应点的连线距离相等”，从折痕与背景图形的交点处入手，结合所求目标，连接对应线段，表达求解；或者考虑“折痕”为对称轴，“对应点所连线段被对称轴垂直平分”，利用垂直平分（题目中会出现全等或相似）解题．（这两条性质可以逐一尝试）

【例题2】如图，将长为4cm，宽为2cm的长方形纸片ABCD折叠，使点B落在

FAMDEBNCCD边的中点E处，压平后得到折痕MN，则线段A

F

A

M

D

E

B

N

C

分析思路：

1.读题标注、转化；

长方形，折叠，中点，目标，如右图所示

2.背景图形；

长为4，宽为2的长方形，DE=EC=1，E是定点；

3.分析条件，组合特征；

折叠是全等变换 对应边相等，对应角相等；

上方：AM=MF，但MF所在的直角三角形无相关线段长信息，求解不出来；

下方：BN=EN； +NC=BN+NC=4，在Rt△ 中，勾股定理能够求BN（NE，

NC等），但跟目标无关，先不进行计算；

4.求解目标；

方式一：考虑折叠性质“对称轴上的点到对应点的连线距离相等”，连接MB和

ME，则MB=ME，可以用来表达列方程求解；如图所示

转移表达 设AM=x，则DM= ；在Rt△ 中，BM2?

（用含x的代数式表示）；在Rt△ 中，ME2? （用含x的代数式表示）；建立方程为 ，解得x= ，即AM= ．

方式二：考虑折叠性质“对应点所连线段被对称轴垂直平分”，连接BE，则

被 垂直平分；如图所示

过点M作MG⊥BC于点G，则△MGN∽△ ，且相似比为1:2，由CE的长，可求GN的长，结合AM=BG=BN-GN，（BN可通过第3条中的分析求出）即可求出AM的长．

中间用到一个很重要的结论：“十字结构”会出现全等或相似．而折叠中的垂直平分经常会提供十字结构，以下是一般的“十字结构”的图形和结论．

A D D

B A D

F F

A F

B E C E C

B E C

△ABE≌△BCF △DCE≌△ABF △ABE∽△BCF

【配套小练习】 练习3和练习4均要求用折叠的两种性质解题（每种图中

展示一种方法）

练习3：如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将该纸片折叠，使点B落在CD边上的点B