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笔记：五次方程的微分方程解法

我以前一直很奇怪为什么三次方程求根公式有两部分构成，四次

三个部分...

如果五次是不是四个部分?这意味着什么?看起来很像线性结构?

最近看到一种很有趣的五次方程解法.

一定程度上解决了我的这个疑惑

求解五次方程

这个方程不可因式分解，其伽罗瓦群是亚循环群

考虑一般情况：

转化为同解微分方程

一个简单的线性常微分，解之得：

所以五个根就是：

这就很有趣了...这个同解微分方程怎么得到的呢?

我找了下参考文献

1.J.Cockle:SketchofaTheoryofTranscendentalRoots,Phil.

Mag.XX,145(1860)

2.J.Cockle:OnTranscendentalandAlgebraicSolution,Phil.

Mag.XXIII,135(1862)

3.R.Harley:Onthesolutionofthetranscendentalsolution

ofalgebraicequations,Quart.J.pureappl.Math.V,337(1862)

以下是Cockle与Harley在1860年左右完成的计算...

让我们从布林杰拉德正规式开始计算

因为所有的五次方程都能转化为布林杰拉德正规式：

我们把x看成t的函数，也就是考虑函数方程：

你这个对齐能不能再烂一点

我们希望它同解于一个微分方程：

接下来我们对(2)式反复求导

然后把(4)式代入(3)式

然后又是很困难的一步

重新代入(5)式中，反复代入直到没有任何项次数高于5

然后比较系数呗...

注意到第3项系数是求不出的，这意味着线性无关(无关紧要)直接

设为1即可。

然后代回(3)式得

然后求解这个方程...不说了太长了

实验代码：

eqn=x[t]^5-x[t]+t==0;

diffeqn=Total@Table[Subscript[a,i]Derivative[5-i][x][t],{i,1,5}]

+Subscript[a,6]==0

deriv=Flatten[Table[Solve[D[eqn,{t,k}],D[x[t],{t,k}]],{k,1,4}]]

algeqn=Expand[diffeqn//.deriv]

expr=FixedPoint[Collect[#,x@t]/.x[t]^i_/;i4:(x[t]-t)x[t]^(i-

5),Numerator@Together[Subtract@@algeqn]];

FullSimplify[expr==0]

var=Array[Subscript[a,#],6];

coe=Solve[CoefficientList[expr,x[t]]==0//Thread,var]

diffeq=diffeqn//.coe

sol=First@DSolve[diffeq,x@t,t];

approximation=sol/.HoldPattern@HypergeometricPFQ[w__]

-1

eqnapprox=eqn/.approximation

system=(#1==0)/@Take[CoefficientList[eqnapprox[[1]],t],4]

coeC=Solve[system,C/@Range@4]

solfinal=sol/.coeC

Block[{rho=RandomReal[1,WorkingPrecision-16]},eqn/.solf

inal]