化二次型为标准形的方法.docVIP

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编号2009011146

毕业论文

（2013届本科）

论文题目：化二次型为标准形的方法

学院：数学与统计学院

专业：数学与应用数学

班级：2009级本科（1）班

作者姓名：王瑜

指导教师：完巧玲职称：副教授

完成日期：2013年05月07日

目录

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陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 1

０引言 1

1矩阵及二次型的相关概念 1

1．1矩阵的相关概念 1

1．2二次型的相关概念 2

2化二次型为标准形的方法 3

2．1配方法 3

2．2初等变换法（合同变换法） 5

2．3正交变换法 6

2．4雅可比法 8

2．5MATLAB法 12

3小结 14

参考文献 15

英文摘要 15

致谢 16

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陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明

本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

作者签名：

二O一年月日

化二次型为标准形的方法

王瑜完巧玲

（陇东学院数学与统计学院甘肃庆阳745000）

摘要：化二次型为标准形的方法通常有配方法、初等变换法、正交变换法、雅可比法、MATLAB法等方法，这五种方法各有长处.本文通过对这些方法的归纳整理，使人们在解题时根据其特点和要求选取最佳方法，以达到简明快速的目的．

关键词：二次型；标准形；初等变换；正交变换；雅可比.

０引言

二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是化二次型为标准形．二次型化为标准形的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题，其理论应用也非常广泛．将二次型化为标准形往往是困惑学生的一大难点问题，而且它在各个领域都有非常重要的应用，因此探索将实二次型化为标准形的方法有重要的理论与应用价值．

实数域上的二次型可通过配方法、初等变换法、正交变换法、雅可比法、MATLAB法等方法将其化为标准形．对于配方法或初等变换法即用非奇异变换将其化为（d为实数）的形式，然而这种方法不易求出矩阵，下面将介绍几种特殊方法，能够快速将原二次型化为标准形，并求出，使问题简化．下面首先介绍有关概念，再分别讨论二次型化为标准形的方法．

1矩阵及二次型的相关概念

1．1矩阵的相关概念

定义设是数域上的一个向量空间，中满足下列两个条件的向量组{}叫做的一个基．

)线性无关；

)的每个向量都可以由线性表示．

定义设{}和{}是维向量空间的两个基．那么向量，，可以由线性表示．设

，作一个阶矩阵

则矩阵叫做由基{}到基{}的过渡矩阵．

定义如果阶实方阵满足即或，

则称为正交矩阵．

定义二次型的矩阵，若记，，，，则称，，，为其顺序主子式．

1．2二次型的相关概念

定义设是一个数域，以中的数作系数的，，，的二次齐次多项式

称为数域上的一个元二次型，简称二次型.

注：(1)这里非平方项的系数采用主要为了后面矩阵表示方便．

(2)实数域上的元二次型为实二次型;复数域上的元二次型为复二次型.

(3)如果二次型中只含有变量的平方项，即

称为标准形的二次型．简称标准形.

定义设是数域上一个线性空间，是上一个二元函数，即对中任意两个向量、，根据都唯一地对应于中一个数．如果有下列性质：1)

2)

其中是中任意向量，是中任意数，则称为上的一个双线性函数．例如：欧氏空间的内积是上双线性函数．

定义设线性空间上的一个双线性函数，如果对中任意两个向量都有，则称为对称双线性函数．

定义设是数域上维线性空间上的一个双线性函数．是的一组基，则矩阵叫做在下的度量矩阵．

结论：双线性函数是对称的