(47)--050402对称矩阵的对角化.pdf

对称矩阵的对角化

性质1实对称矩阵的特征值都是实数.

性质2实对称矩阵的相异特征值所对

应的特征向量必正交.

性质3实对称矩阵A的k重特征值对应

的线性无关的特征向量恰有k个.

结论实对称矩阵一定与对角矩阵相似.

结论实对称矩阵一定与对角矩阵正交相似.

对称矩阵的对角化

定理设A为n阶对称矩阵，则必有正交阵P，使得

−1T

PAP=PAP=，



其中是以A的n个特征值为对角元的对角矩阵.

对称矩阵的对角化

011



例1设A101，求

110



−1

(1)可逆矩阵P，使PAP为对角矩阵;

−1

(2)正交矩阵Q，使QAQ为对角矩阵.

对称矩阵的对角化

解(1)因为A是对称阵，所以A可以对角化．

11

2

|AE|11(1)(2)



11

求得A的特征值=−2，==1．

123

对称矩阵的对角化

当=−2时，解方程组(A+2E)x=0．

1

211101

r



A2E121~011



112000



1