(46)--050401对称矩阵的特征值与特征向量的性质.pdf

5.4

对称矩阵的特征值

与特征向量的性质

对称矩阵的特征值与特征向量的性质

设A为n阶方阵，如果满足AAT，即

aijajii,j1,2,,n

那么A称为对称矩阵，简称对称阵.

1261



A680

106



对称矩阵的特征值与特征向量的性质

性质1实对称矩阵的特征值都是实数.

01

例如A

10

1

2

AE10

1

i

对称矩阵的特征值与特征向量的性质

例1设A是n阶实对称矩阵

32

A3A5A3E0

求A的特征值.

解

设为A的任一特征值，则

32



3530

解得1,12i,12i

因为A是n阶实对称矩阵，

所以1.即A的全部特征值为1.

对称矩阵的特征值与特征向量的性质

性质2设,是对称矩阵A的两个特征值,

12

p,p是对应的特征向量,若,则p,p正交.

121212

证明p=Ap,p=Ap,.内积

11122212

T

p1p2=0

pT=(p)T=(Ap)T=pTAT=pTA,

111111