1997考研数学一真题及答案详解-.docVIP

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1997年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、填空题(此题共5分,每题3分,总分值15分.把答案在题中横线上.)

(1).

(2)设幂级数的收敛半径为3,那么幂级数的收敛区间为.

(3)对数螺线在点处的切线的直角坐标方程为.

(4)设,为三阶非零矩阵,且,那么=.

(5)袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,那么第二个人取得黄球的概率是.

二、选择题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)二元函数在点处()

(A)连续,偏导数存在(B)连续,偏导数不存在

(C)不连续,偏导数存在(D)不连续,偏导数不存在

(2)设在区间上令,

,那么()

(A)(B)

(C)(D)

(3)那么()

(A)为正常数(B)为负常数(C)恒为零(D)不为常数

(4)设那么三条直线,,

(其中)交于一点的充要条件是()

(A)线性相关

(B)线性无关

(C)秩秩

(D)线性相关,线性无关

(5)设两个相互独立的随机变量和的方差分别为4和2,那么随机变量的方差是

()

(A)8(B)16(C)28(D)44

三、(此题共3小题,每题5分,总分值15分.)

(1)计算其中为平面曲线绕轴旋转一周形成的曲面与平面所围成的区域.

(2)计算曲线积分,其中是曲线从轴正向往轴负向看,的方向是顺时针的.

,在时刻已掌握新技术的人数为,在任意时刻已掌握新技术的人数为(将视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数求.

四、(此题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,总分值13分.)

(1)设直线在平面上,且平面与曲面相切于点,求之值.

(2)设函数具有二阶连续导数,而满足方程,求.

五、(此题总分值6分)

设连续,且(为常数),求并讨论在处的连续性.

六、(此题总分值8分)

设证明：

(1)存在；

(2)级数收敛.

七、(此题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,总分值11分.)

(1)设是秩为2的矩阵,是齐次线性方程组的解向量,求的解空间的一个标准正交基.

(2)是矩阵的一个特征向量.

(Ⅰ)试确定参数及特征向量所对应的特征值；

(Ⅱ)问能否相似于对角阵？说明理由.

八、(此题总分值5分)

设是阶可逆方阵,将的第行和第行对换后得到的矩阵记为.

(1)证明可逆；

(2)求.

九、(此题总分值7分)

从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是.设为途中遇到红灯的次数,求随机变量的分布律、分布函数和数学期望.

十、(此题总分值5分)

设总体的概率密度为

其中是未知参数.是来自总体的一个容量为的简单随机样本,分别用矩估计法和最大似然估计法求的估计量.

1997年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

一、填空题(此题共5分,每题3分,总分值15分.把答案在题中横线上.)

(1)【答案】

【分析】这是.

【解析】将原式的分子、分母同除以,得

评注：使用洛必达法那么的条件中有一项为哪一项应存在或为,而此题中,

极限不存在,也不为,不满足使用洛必达法那么的条件,故此题不能用洛必达法那么.

【相关知识点】1.有界量乘以无穷小量为无穷小量.

(2)【答案】

,那么

.

由于逐项求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径,的收敛半径为3

的收敛半径为3,收敛区间即(-3,3),回到原幂级数,它的收敛区间为,即.

评注：幂级数的收敛区间指的是开区间,不考虑端点.

对于,假设它的收敛半径是.但是假设只知它的收敛半径为,那么,因为可以不存在(对