专题17 最大角米勒角问题（原卷版）.docxVIP

最大角米勒角问题

一、知识导航

【问题描述】

1471年，德国数学家米勒向诺德尔提出这样一个问题：

如图，点A、B直线l的同一侧，在直线l上取一点P，使得∠APB最大，求P点位置．

【问题铺垫】

圆外角：如图，像∠APB这样顶点在圆外，两边和圆相交的角叫圆外角．

相关结论：圆外角等于这个角所夹两条弧的度数差（大减小）的一半．

如图，．

换句话说，对同一个圆而言，圆周角圆外角．

【问题解决】

结论：当点P不与A、B共线时，作△PAB的外接圆，当圆与直线l相切时，∠APB最大．

证明：在直线l上任取一点M（不与点P重合），连接AM、BM，

∠AMB即为圆O的圆外角，

∴∠APB∠AMB，∠APB最大．

∴当圆与直线l相切时，∠APB最大．

特别地，若点A、B与P分别在一个角的两边，如下图，则有．（切割线定理）

证明：∵∠POA=∠BOP，∠OPA=∠OBP（弦切角定理）

∴△AOP∽△POB，

∴，

∴．

即可通过OA、OB线段长确定OP长，便知P点位置．

二、典例精析

如图，在平面直角坐标系中，A（1，0）、B（5，0）直线l经过点C（-1，2），点P是直线l上的动点，若∠APB的最大值为45°，求直线l的解析式．

【分析】

考虑到直线l未知但∠APB的最大值已知为45°，故构造圆．

记△ABP外接圆圆心为M点，则∠AMB=2∠APB=90°，

故可确定M点位置．

根据A（1，0）、B（5，0），不难求得M点坐标为（3，2），

连接MC、MP，考虑到圆M与直线CP相切，故MP⊥CP，△CPM是直角三角形．

∵MC=4，MP=MA=，

∴，即△CPM是等腰直角三角形，

易求P点坐标为（1，4），

又C点坐标为（-1，2），

可求直线l的解析式为y=x+3．

三、中考真题演练

1.如图，抛物线与轴交于A（-1，0）、两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线经过点D，BD．

（1）求抛物线的表达式；

（2）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？（请直接写出结果）

2．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点、，且经过点．

??

(1)求抛物线的表达式；

(2)在x轴上方的抛物线上任取一点N，射线、分别与抛物线的对称轴交于点P、Q，点Q关于x轴的对称点为，求的面积；

(3)点M是y轴上一动点，当最大时，求M的坐标．

3．（2023·四川遂宁·一模）已知抛物线与轴交于，两点．

??

(1)求抛物线的函数解析式；

(4)点Q是抛物线对称轴上一动点，当的值最大时，点Q的坐标为：．（直接填空）

4．（2019·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣5）（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于P点，过其顶点C作直线CH⊥x轴于点H．

（1）若∠APB＝30°，请直接写出满足条件的点P的坐标；

（2）当∠APB最大时，请求出a的值；

5．（2018·浙江宁波·一模）已知，如图1，O是坐标原点，抛物线（a≠0）经过A、B、C三点，AB⊥y轴于点A，AB=2，AO=4，OC=5，点D是线段AO上一动点，连接CD、BD．

（1）求出抛物线的解析式；

（3）当∠BDC的度数最大时，请直接写出OD的长．

6．（2015·福建泉州·一模）如图，是坐标原点，过点的抛物线与轴的另一个交点为，与轴交于点，其顶点为点．

（1）求的值．

（2）连结、，动点的坐标为．

②连结、，当最大时，求出点的坐标．

7．（2023·广东深圳·一模）船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？

??

(1)数学小组用已学知识判断与“危险角”的大小关系，步骤如下：如图2，与相交于点D，连接，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知，

是的外角，

（填“”，“”或“”），

（填“”，“”或“”）；

(2)如图3，已知线段与直线l，在直线l上取一点P，过A、B两点，作使其与直线l相切，切点为P，不妨在直线上另外任取一点Q，连接、，请你判断与的数量关系，并说明理由；

(3)一位足球左前锋球员在某场赛事中有一精彩进球，如图4，他在点P处接到球后，沿方向带球跑动，球门米，米，米，，．该球员在射门角度（）最大时射门，球员在上的何处射门？（求出此时的长度．）

8．（2023·广东深圳·一模）【问题发现】

船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，A，B表示灯塔，暗礁分布