专题08 相似三角形存在性问题（原卷版）.docxVIP

专题08相似三角形存在性问题

一、知识导航

在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问题”．

【相似判定】

判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；

判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；

判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．

以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题．

【题型分析】

通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题．

【思路总结】

根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等！

所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角．

然后再找：

思路1：两相等角的两边对应成比例；

思路2：还存在另一组角相等．

事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1．

一、如何得到相等角？

二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？

搞定这两个问题就可以了．

二、典例精析

例一、如图，抛物线与轴交于点A（-1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，-3）．点Q是抛物线上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．

【分析】

（1）抛物线：；

（2）思路：考虑到△ABC和△BOE有一组公共角，公共角必是对应角．

∠ABC的两边BA、BC与∠OBE的两边BO、BE成比例即可，故可得：

或．

解得：或，

故E点坐标为或．

当E点坐标为时，直线OE解析式为，

联立方程：，解得：，，

此时Q点坐标为或；

当E点坐标为时，直线OE解析式为，

联立方程：，解得：，，

此时Q点坐标为或．

综上所述，Q点坐标为或或或．

说明：过程应详细分类讨论两种情况，分别求出结果．

例二、如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x-1与抛物线交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D．

（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；

（2）如图2，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】

（1）m=1，n=3，

抛物线解析式为；

（2）思路：平行得相等角，构造两边成比例

由题意得D（5，0），故直线CD解析式为：y=x-5，

∴CD∥AB，

∴∠CDA=∠BAD，

考虑到点Q在线段CD上，

∴或，

解得：或，

故Q点坐标为或．

三、中考真题演练

1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究

如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且，连接，．

??

(1)求点M的坐标及抛物线的解析式；

(3)点D是线段(包含点B，C)上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与相似，请直接写出点Q的坐标；

2．（2023·湖北武汉·中考真题）抛物线交轴于两点（在的左边），交轴于点．

??

(1)直接写出三点的坐标；

(2)如图（1），作直线，分别交轴，线段，抛物线于三点，连接．若与相似，求的值；

3．（2023·湖北随州·中考真题）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．

??

(1)直接写出抛物线和直线的解析式；

(3)当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由．

4．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为1．

(1)求抛物线的解析式；

(3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．

5．（2022·湖南·中考真题）如图，已知抛物线的图像与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点．

??

(1)求抛物线的函数表达式及点的坐标；

(2)若四边形为矩形，．点以每秒1个单位的速度从点沿向点运动，同时点以每秒2个单位的速度从点沿向点运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以、、为顶点的三角形与相似时，求运动时间的值；

6．（2022·辽宁·中考真题）抛物线