专题05 含参函数的单调性讨论(解析版).pdfVIP

专题05含参函数的单调性讨论

【方法总结】

分类讨论思想研究函数的单调性

讨论含参函数的单调性，其本质就是讨论导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析

式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主．讨论时要考虑参数所在的位置参数取值对导函数

符号的影响，一般来说需要进行四个层次的分类：

(1)最高次幂的系数是否为0，即“是不是”；

(2)导函数是否有变号零点，即“有没有”；

(3)导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内，即“在不在”；

(4)导函数的变号零点之间的大小关系，即“大不大”．

牢记：十二字方针“是不是，有没有，在不在，大不大”．

考点一导主一次型

【例题选讲】

[例1]已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性．

ax－a

解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－＝，令f′(x)＝0，得x＝a，

xx

①当a≤0时，f′(x)0在(0，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

②当a0时，x∈(0，a)时，f′(x)0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)0，

综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，当a0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调

递增．

【对点训练】

1．已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．讨论函数f(x)的单调性．

a(1－x)

1．解析函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝1，

x

当a0时，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；

当a0时，f(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减；

当a＝0时，f(x)为常函数．

2．已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性．

11－ax

2．解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝(x0)，

xx

1

①当a≤0时，f′(x)＝－a0，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

x

11－ax1

②当a0时，令f′(x)＝－a＝＝0，可得x＝，

xxa

11－ax11－ax

当0x时，f′(x)＝0；当x时，f′(x)＝0，

axax

11



故函数f(x)在0，上单调递增，在，＋∞上单调递减．

aa

综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

11

，＋∞

当a0时，f(x)在0，上单调递增，在上单调递减．

a