二次不等式恒成立问题.pdfVIP

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根底梳理

1.一元二次不等式的解法

22

(1)将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数大于零的不等式a*+b*+c>0(a>0)或a*

+b*+c<0(a>0).

(2)求出相应的一元二次方程的根.

(3)利用二次函数的图象与*轴的交点确定一元二次不等式的解集.

2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系

如下表:

判别式

Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0

2

二次函数y=a*+

b*+c(a>0)的图

一元二次方程a*2有两相等实根

有两相异实根

+b*+c=0(a>0)*=*=-没有实数根

12

*,*(*<*)

1212

的根

2

a*+b*+c>0(a

{*|*>*或*<*}R

21

>0)的解集

2

a*+b*+c<0(a

{*|*<*<*}∅∅

12

>0)的解集

一个技巧

22

一元二次不等式a*+b*+c<0(a≠0)的解集确实定受a的符号、b-4ac的符号的影响,且

2

与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系,可结合相应的函数y=a*+b*+c(a≠0)的图

2

象,数形结合求得不等式的解集.假设一元二次不等式经过不等式的同解变形后,化为a*+

2

b*+c>0(或<0)(其中a>0)的形式,其对应的方程a*+b*+c=0有两个不等实根*,*,(*

121

<*)(此时Δ=b2-4ac>0),则可根据“大于取两边,小于夹中间〞求解集.

2

两个防

(1)二次项系数中含有参数时,参数的符号影响不等式的解集;不要忘了二次项系数是否为零

的情况;

(2)解含参数的一元二次不等式,可先考虑因式分解,再对根的大小进展分类讨论;假设不能

因式分解,则可对判别式进展分类讨论,分类要不重不漏.

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