重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（含答案解析）.docx

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重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知向量，，若，则实数（????）

A．2 B．4 C．6 D．8

2．已知复数满足（为虚数单位），则（????）

A． B． C． D．

3．设有两条不同的直线，和两个不同的平面，，则下列命题正确的是（????）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

4．已知a.b.c分别是的内角A?B?C的对边，若，则的形状为（????）

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形

5．已知梯形按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形，且，，，现将梯形绕?转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（????）

A． B． C． D．

6．设三个内角，，的对边分别为，，，且，，则下列条件能使解出的有两个的是（????）

A． B． C． D．

7．已知的内角，，的对边分别为，，，，当取得最大值时，为（????）

A． B． C． D．

8．已知平行四边形，，分别为，中点，设在方向上投影向量为，在方向上投影向量为，已知，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．如图，过直三棱柱的棱作截面分别与棱，相交于，（，不与顶点重合），则下列判断正确的有（????）

??

A．

B．直线与直线共面

C．几何体为棱台

D．当为中点时，几何体与三棱柱的体积之比为

10．已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则以下说法正确的是（????）

A． B．是钝角三角形

C．若，则外接圆半径为 D．若周长为15，则内切圆半径为

11．重庆南开中学校徽的核心图像为八角星形，八角星形由两个正方形叠加、结合而成，八个角皆为直角，分别指向东、西、南、北、东南、东北、西南、西北八个方向.一是体现“方方正正做人”之意，二是体现南开人“面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神.八角星形方圆互动，融合东西，体现了南开中学“智圆行方”的入世哲学、“追求卓越”的立世哲学和“允公允能”的济世哲学.如图，，，，，，，，是半径为1的上的八个等分点，则以下说法正确的有（????）

A．

B．

C．若在正方形的边上移动，，则

则

D．若在正方形的边上移动，在正方形的边上移动，在圆上移动，则

三、填空题

12．将一个半径为的铁球熔化后，浇铸成一个底面半径为的圆锥铁锭，则圆锥的母线长为.

13．已知复数满足，且是纯虚数，试写出一个满足条件的复数.

14．如图，在平面四边形中，，对任意实数都有，若为的面积，且，，则的最大值是.

四、解答题

15．已知，是平面内两个不共线的向量，若，，，且、、三点共线.

(1)求实数的值；

(2)若，.

（ⅰ）求；

（ⅱ）若，，，，恰好构成平行四边形，求点的坐标.

16．如图，四棱锥的底面为平行四边形，，分别为棱，上的点，且，.

(1)求证：平面；

(2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在求出的值；若不存在，说明理由.

17．某公园湖心有一浮动观景亭，湖边一点到观景亭的一座桥长为米.现公园打算升级改造，在湖边选取两个点，，新建两座桥梁，，且.

??

(1)若为中点，且米，求两座桥梁长度之和的值；

(2)若，已知玻璃桥的建设成本为2千元/米，普通桥的建设成本为1千元/米，若用玻璃桥，用普通桥梁，不考虑其他费用支出，请你帮公园规划部计算一下，建设这两座桥梁总预算成本的最大值（单位：千元）

18．已知的内角，，的对边分别为，，.若.

(1)求；

(2)若，求的值；

(3)如图所示，若，三等分，，在线段上（靠近），已知，求.

19．我们知道复数有三角形式，，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍.

已知圆半径为1，圆的内接正方形的四个顶点均在圆上运动，建立如图所示坐标系，设点所对应的复数为，点所对应的复数为，点所对应的复数为，点所对应的复数为.

(1)若，求出，；

(2)如图，若，以为边作等边，且在上方.

（ⅰ）求线段长度的最小值；

（ⅱ）若（，），求的取值范围.

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参考答案：

1．B

【分析】根据向量垂直的坐标表示，即可求解.

【详解】，，

由，可知，，得.