复变函数论 钟玉泉 第四版 课后习题答案详解解析.docxVIP

第一章复变与复变函数

(一)

1.解：z=()2+(一)2=1

Argz=argz+2k几=arctan(一3)+2k几=一+2k几(k=0,1,2,…)2.解:因为z1==e,z2=一i=2e一i

所以z1.z2=2ei,=ei

3.解:由z4+a4=0得z4=一a4

则二项方程的根为

wk=(4一1)k.a(k=0,1,2,3)

=ei2几.ei.a(k=0,1,2,3)

因此w0=(1+i),w1=(一1+i)

w2=(一1一i),w3=(1一i)

4.证明:因为z1+z22=z12+z22+2Re(z1z2)

222z1一z2=z1+z2一2Re1z2)

222

两式相加得

2222z1+z2+z1一z2=2(z1+z2)

2222

几何意义:平行四边形两队角线的平方和等于各边平方和.

5.证明:由第4题知z1+z22+z1一z22=2(z12+z22)

由题目条件z1+z2+z3=0知z1+z2=一z3

可有

于是

同理

所以

123z+z=z

123

2222222z1_z2=2(z1+z2)_z1_z2=2(z1+z2)_z3=3

2222222

222331z_z=z_z

22

2331

122331z_z=z_z=z_z

122331

因此z1,z2,z3是内接宇单位圆的等边三角形的顶点.

6.解:(1)表示z点的轨迹是z1与z2两点连线的中垂线;不是区域.

(2)令z=x+yi,由z共z_4得

x+yi共(x_4)+yi,即x2+y2共(x_4)2+y2,得x共2

因此,z点的轨迹是以直线x=2为右界的右半平面(包括直线);不是区域.

(3)同(2)z=x+yi,得x0,故z点的轨迹是以虚轴为左界的右半平面(包括虚轴;是区域.

(4)由〈得〈nx1即〈1

可知z点的轨迹是一梯形(不包括上,下边界);不是区域.

(5)z点的轨迹是以原点为圆心,2为半径以及(3,0)为圆心,1