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一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

要点一、一元二次方程根的判别式

1.一元二次方程根的判别式

一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即

〔1〕当△0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

〔2〕当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；

〔3〕当△0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程根的判别式的逆用

在方程中，

〔1〕方程有两个不相等的实数根﹥0；

〔2〕方程有两个相等的实数根=0；

〔3〕方程没有实数根﹤0.

那么，.

注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用

(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；

(2)方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；

(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：

①；

②；

③；④；

⑤；

⑥；

⑦；

⑧；

⑨；

⑩．

(4)方程的两根，求作一个一元二次方程；

以两个数为根的一元二次方程是.

(5)一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；

(6)利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.

设一元二次方程的两根为、，那么

①当△≥0且时，两根同号．

当△≥0且，时，两根同为正数；

当△≥0且，时，两根同为负数．

②当△＞0且时，两根异号．

当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；

当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大．类型一、一元二次方程根的判别式的应用

1．不解方程，判断以下方程的根的情况：

(1)2x2+3x-4=0(2)ax2+bx=0(a≠0)

【变式】不解方程，判别方程根的情况：.

2．假设关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是〔〕．

A．B．且C．D．且

【变式】m为任意实数，试说明关于x的方程x2-〔m-1〕x-3〔m+3〕=0恒有两个不相等的实数根.

3.以下四个结论中，正确的选项是〔〕

A．方程有两个不相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根

C．方程有两个不相等的实数根D．方程〔其中a为常数，且〕有两个不相等的实数根

【变式】不解方程，判别方程根的情况：

4.关于x的一元二次方程有实数根，那么m的取值范围是________

【变式】：关于x的方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围.

5.设x1、x2是方程的两根，不解方程，求以下各式的值：

(1)；(2)；(3)．

【变式】不解方程，求方程的两个根的〔1〕平方和；〔2〕倒数和．

6.求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程各根的负倒数．

类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用

7．方程的一个根是2，求另一个根及k的值．

【变式】方程的一个根是3，求它的另一根及的值．

8．求作一个一元二次方程，使它的两根分别是，．

9、α、β是关于x的方程4x2－4mx+m2+4m=0的两个实根，并且满足，求m的值。

10、一元二次方程8x2－(2m+1)x+m－7=0，根据以下条件，分别求出m的值：

(1)两根互为倒数；

(2)两根互为相反数；

(3)有一根为零；

(4)有一根为1；

11、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为α、β，且两个关于x的方程x2+(α+1)x+β2=0与x2+(β+1)x+α2=0有唯一的公共根，求a、b、c的关系式。

12．〔12分〕〔2012?内江〕如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1．x2=q，请根据以上结论，解决以下问题：

〔1〕关于x的方程x2+mx+n=0，〔n≠0〕，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是方程两根的倒数；

〔2〕a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求的值；

〔3〕a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．

稳固练习

一、选择题

1.关于x的方程无实数根，那么m的取值范围为()．

A．m≠0B．m＞1C．m＜1且m≠0D．m＞-1

2．a、b、c是△ABC的三条边，且方程有两个相等的实数根，那么这个三角形是〔〕

A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形

3．假设、是一元二次方程的两根，那么的值为〔〕．

A．