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第三讲行列式按行(列)展开

克拉默法则

行列式按行(列)展开

一、引例

结论三阶行列式可以用二阶行列式表示.

思考题任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？

在n阶行列式中，把元素所在的第行和第列划后，

留下来的n－1阶行列式叫做元素的余子式，记作.

把称为元素的代数余子式．

例如

结论因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列

式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.

例设,的元的余子式和

代数余子式依次记作和，分别求出它们。

二、行列式按行（列）展开法则

定理行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应

的代数余子式乘积之和，即

例（P.12例7续）

推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对

应元素的代数余子式乘积之和等于零，即

分析我们以3阶行列式为例.

把第1行的元素换成第2行的对应元素，则

例计算行列式

解

例设,的元的余子式和

代数余子式依次记作和，求

及

分析利用

解

克拉默法则

一、克拉默法则

如果线性方程组

的系数行列式不等于零，即

那么线性方程组(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成

其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常

数项代替后所得到的阶行列式，

定理中包含着三个结论：

•方程组有解；（解的存在性）

•解是唯一的；（解的唯一性）

•解可以由公式(2)给出.

这三个结论是有联系的.应该注意，该定理所讨论的只是系

数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形，

将在第三章的一般情形中一并讨论.

例解线性方程组

解

二克拉默法则的等价命题

常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组，否则

称为非齐次线性方程组.

齐次线性方程组总是有解的，因为(0,0,…,0)就是一个解，

称为零解.因此，齐次线性方程组一定有零解，但不一定

有非零解.

我们关心的问题是，齐次线性方程组除零解以外是否存

在着非零解.

结论：

齐次线性方程组有非零解系数行列式等于零

（齐次线性方程组只有零解系数行列式不等于零）

齐次线性方程组的相关定理

定理5如果齐次线性方程组的系数行列式，则齐次

线性方程组只有零解，没有非零解.

定理5′如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为

零.

备注

1.这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有非

零解的必要条件.

2.在第三章还将证明这个条件也是充分的.即：

齐次线性方程组有非零解系数行列式等于零

齐次线性方程组只有零解系数行列式不等于零

例：问取何值时，齐次方程组

有非零解？

解

如果齐次方程组有非零解，则必有.

所以时齐次方程组有非零解.

作业：

习题一：4（4），8（1）11