2024年中考数学考点必备方法必备02由“两点”引发的联想（解析版）.docxVIP

方法必备02由“两点”引发的联想

题型一：求点的坐标

题型二：求面积

题型三：求距离

题型四：旋转问题

题型五：最值问题

题型六：有关存在性问题

题型一：求点的坐标

1．（2023秋?项城市期末）如图，直线与轴、轴分别交于点和点．

（1）求，两点的坐标；

（2）点为轴上一点，若的面积为10，求点的坐标；

（3）点是上的一点，若将沿直线折叠，点恰好落在轴上的点处，求点的坐标．

【分析】（1）根据一次函数的图象的特点，求点、坐标即可；

（2）设，则，求出的值即可求点坐标；

（3）由折叠可知，则，在△中，，解得，即可求点坐标．

【解答】解：（1）当时，，

，

当时，，

；

（2）设，

，

的面积为10，

，

解得或，

或；

（3）由折叠可知，，

，，

，

，

，

，

在△中，，

，

解得，

．

【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握次一函数的图象及性质，轴对称的性质，勾股定理是解题的关键．

题型二：求面积

2．（2023秋?普陀区校级期末）已知，如图，正方形，点、分别是边、上的两个动点，如果的大小始终保持不变．将绕着点顺时针方向旋转，点、的对应点分别为点、．如果，那么的面积为．

【分析】根据旋转得出，，则为等腰直角三角形，则．

【解答】解：将绕着点顺时针方向旋转，点、的对应点分别为点、，

，

，，三点共线，

，，

为等腰直角三角形，

．

故答案为：5．

【点评】本题主要考查了旋转的性质，三角形面积的计算，解题的关键是根据旋转得出，．

题型三：求距离

3．（2023秋?埇桥区期末）问题原型：（1）如图①，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD，在AD上取点E，使DE＝CD，连接BE．求证：BE＝AC；

问题拓展：（2）如图②，在（1）的条件下，F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使AC⊥MC．

①求证：∠BEM＝∠M；

②若，求A、M两点之间的距离．

【分析】（1）由“SAS”可证△BDE≌△ADC，可得BE＝AC；

（2）①由“ASA”可证△BEF≌△CMF，可得∠BEM＝∠M；

②由全等三角形的性质可得AC＝BE＝MC，由等腰直角三角形的性质可求解．

【解答】（1）证明：在△BDE和△ADC中，

，

∴△BDE≌△ADC（SAS），

∴BE＝AC；

（2）①证明：∵点F是BC中点，

∴BF＝CF，

∵AC⊥MC，

∴∠ACD+∠MCB＝90°，

∵∠ACD+∠DAC＝90°，

∴∠DAC＝∠MCB，

∵△BDE≌△ADC，

∴∠DAC＝∠EBD，

∴∠EBD＝∠MCB，

又∵∠EFB＝∠MFC，

∴△BEF≌△CMF（ASA），

∴∠BEM＝∠M；

②如图②，连接AM，

由（1）可知，△BDE≌△ADC，

∴BE＝AC，

由（2）①可知：△BEF≌△CMF，

∴CM＝BE＝AC，

∵AC⊥CM，

∴AM＝AC＝．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．

题型四：旋转问题

4．（2023?西陵区模拟）如图，点的坐标为，点是轴正半轴上的一点，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段．若点的坐标为，则点的坐标为．

【分析】过作轴于点，通过证得，得出，，可得点的坐标，

【解答】解：过作轴于点，如图：

，

，

，

，

，，

，

，，

点的坐标为，点的坐标为，

，，

，

，

故答案为：．

【点评】本题考查坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

5．（2023?蚌山区模拟）综合实践课上，小聪把一张长方形纸片沿着虚线剪开，如图①所示，把得到的两张纸片如图②摆放，纸片△较小锐角的顶点在上，较长直角边与斜边分别交边于点，．以点与重合，且为初始位置，把△沿着方向平移，当点到达点后立刻绕点逆时针旋转，如图③，直到点与点重合停止．为了探求与之间的变化关系，设，请用含的代数式表示．

（1）在平移过程中，，

（2）在旋转过程中，．

【分析】（1）解△，求得，进而得出结果；

（2）先拜表示出的长，进而根据得出的长，进一步得出结果．

【解答】解：（1）在△中，，，

，

，

故答案为：；

（2）如图1，

当时，

作于，

在中，，，

，

，，

，

，

，

，

如图2，

当时，

方法同上得出，

，

故答案为：．

【点评】本题考查了矩形性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．

题型五：最值问题

6．（2023?陆丰市二模）如图，在中，，，是的高上一个动点，以点为旋转中心把线段逆时针旋转得到，连接，则的最小值是．

【分析】在上截取，由等腰直角三角形的性质可得，，，