偏微分方程数值解法答案.docx

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课本p

2

有证明

课本p,p

8 12

课本p ,p

有说明

有说明

15 20

Rit2法，设u

n

是u的n维子空间，?,?

1 2

...?

n

是u的一组基底，u

n n

中的任一元素u可

n

表为u

n

??n

c? ，则J(u

i i n

)?1a(u,u

2 n n

)?(f,u

n

)?1?n

2

a(?,?

i j

)cc

i

j

??n

c(f,?)是

j j

i?1

?J(u

i,j?1

n)

n

j?1

c,c

1 2

...c

n

的二次函数，a(?,?

i j

)?a(?,?

j i

)，令

?0，从而得到c,c

?c 1 2

j

...c满足

n

?na(?,?)c

?(f,?

),j?1,2...n，通过解线性方程组，求的c

，代入u

??n

c?，

i?1

i j i j

i n i i

i?1

从而得到近似解u

n

的过程称为Rit2法

简而言之，Rit2法：为得到偏微分方程的有穷维解，构造了一个近似解，u

??n

c?，

n i i

i?1

利用J(u

n

)?1a(u,u

2 n n

)?(f,u

n

)?1?n

2

a(?,?

i j

)cc

i

j

??n

c(f,?

j j

)确定c

i

，求得近似解u的

n

过程

Galerkin法：为求得u

??n

i,j?1 j?1

c?形式的近似解，在系数c使u

关于V?u

，满足

n i i

i?1

i n n

a(u

n

,V)?(f,V) ， 对 任 意

V?u

n

或 （ 取 V??

,1?j?n ）

j

?na(?,?)c

?(f,?

),j?1,2...n的情况下确定c

，从而得到近似解u

??n

c?的过程称

i?1

i j i j

i n i i

i?1

Galerkin法为

Rit2-Galerkin法方程：?n

a(?,?)c?(f,?)

i?1

i j i j

有限元法：将偏微分方程转化为变分形式，选定单元的形状，对求解域作剖分，进而构

造基函数或单元形状函数，形成有限元空间，将偏微分方程转化成了有限元方程，利用有效的有限元方程的解法，给出偏微分方程近似解的过程称为有限元法。

解：对求解区间进行网格剖分，节点a?x

?x...?x

?...?x

?b得到相邻节点x ,x

0 1 i n

i?1 i

之间的小区间I

?[x ,x]，h

?x?x

，由节点上的一组值u

?0,u,u...u

，按线

i i?1 i

i i i?1

0 1 2 l

x?x x?x

性插值公式u

n

(x)? i

h

i

u ?

i?1

i?1u

h i

i

○1 x?I

i

,i?1,2...n确定试探空间u，令

n

??F(x)?

x?x

i?1○2

i h

i

I ? N(?)?1??,N(?)??

把i变到 轴上的参考但愿[0,1]令 0 1 则：

n 0 i i iU(x)?N(?)u?1?N1(?)u，x?I○3将○

n 0 i i i

b

J(u)? ?

a

(pu?2?qu2?2fu)dx

得到：

J(u)?1?b(pu?2?qu2?2fu)dx?

1?n?(pu?2?qu

2)dx??n? fudx

n 2 a

n带入○2可得

n

2 I n n

i?1 i

i?1 Ii

1?n 1

(u?u )2

J(u)?

?[p(x

?h?) i i?1 ?hq(x

?h?)(N

(?)u

?N(?)u

)2d?

n

?J(u

2

i?1

??n

i?1

)

0

h?1

i 0

i?1

f(x

i?1

i

?h?)(N

i

h

i

(?)u

0

i?1

i i?1

?N(?)u

1 i

i 0

)d?

○4

i?1 1 i

n?u?a u ?au ?a