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教案

教学内容

控制系统稳定性分析（劳斯判据）

备课教师

宋博仕

上课时间

2017.9.1

教学目标

理解稳定性概念及线性定常系统稳定性的定义；

掌握线性定常系统稳定性判定的充要条件；

运用劳斯判据，判定三种情形下的系统稳定性；

运用劳斯判据，分析控制系统的稳定裕度；

教学重点、难点

理解稳定性的定义；

单位脉冲函数作为扰动信号，推导线性定常系统稳定性的充要条件；

运用劳斯判据，判定系统的稳定性；

运用劳斯判据，判定系统稳定裕度；

教

学

过

程

在控制系统的分析研究中，最重要的问题是系统的稳定性问题。不稳定的系统在受到外界或内部的一些因素扰动时，会使被控制量偏离原来的平衡工作状态，并随时间的推移而发散。因此，不稳定的系统是无法正常工作的。在这一节中将讨论稳定性的定义，稳定的充要条件及判别稳定性的基本方法。

定义

稳定性是系统在扰动消失后，自身具有的一种恢复能力，它是系统的一种固有特性，这种特性只取决于系统的结构和参数，与外作用无关。

线性定常系统的稳定性的定义：如果线性定常系统受到扰动的作用，偏离了原来的平衡状态，而当扰动消失后，系统又能够逐渐恢复到原来的平衡状态，则称该系统是渐近稳定的（简称为稳定）。否则，称该系统是不稳定的。

稳定性的充要条件：

根据上述稳定性的定义，可以用单位脉冲响应函数函数作为扰动来讨论系统的稳定性。

线性定常系统在初始条件为零时，输入一个理想单位脉冲信号，这相当于系统在零平衡状态下，受到一个扰动信号的作用，如果当t趋于无穷大时，系统的输出响应C(t)收敛到原来的零平衡状态，即该系统就是稳定的。

设系统的闭环传递函数为

特征方程为

如果特征方程的所有根互不相同，且有q个实数根和r对共轭复数根,则在单位脉冲函数的作用下，系统输出量的拉氏变换可表示为

将上式用部分分式法展开并进行拉氏反变换得

上式表明：

当系统特征方程的根都具有负实部时，则各瞬态分量都是衰减的，且有，此时系统是稳定的。

如果特征根中有一个或一个以上具有正实部，则该根对应的瞬态分量是发散的，此时有，系统是不稳定的。

如果特征根中具有一个或一个以上的零实部根，而其余的特征根均有负实部，则趋于常数或作等幅振荡，这时系统处于稳定和不稳定的临界状态，称为临界稳定状态。对于大多数实际系统，当它处于临界状态时，也是不能正常工作的，所以临界稳定的系统在工程上属于不稳定系统。

线性定常系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，即闭环传递函数的所有极点均位于为S平面的左半部分（不包括虚轴）。

劳斯稳定判据

控制系统的稳定的充要条件是其特征方程的根均具有负实部。因此，为了判别系统的稳定性，就要求出系统特征方程的根，并检验它们是否都具有负实部。但是，这种求解系统特征方程的方法，对低阶系统尚可以进行，而对高阶系统，将会遇到较大的困难。人们希望寻求一种不需要求解的特征方程就能判别系统稳定性的间接方法，劳斯判据就是其中的一种。

劳斯判据利用特征方程的各项系数进行代数运算，得出全部特征根具有负实部的条件，以此作为判别系统是否稳定的依据。因此，这种判据又称为代数稳定判据。

1、稳定的必要条件

设系统的特征方程为，式中（当时，可将方程两边同乘以-1）。若该方程的特征根为（1,2,….n）,该n个根可以是实数也可以是复数，则上式可改写成为

将上式展开

由此可见，如果特征方程的根都具有负实部，则上式的所有系数必然都大于零。故系统稳定的必要条件是其特征方程的各项系数均为正，即

根据必要条件，在判别系统的稳定性时，可事先检查系统特征方程的系数是否都大于零，若有任何系数是负数或等于零，则系统是不稳定的。但是，当特征方程满足稳定的必要条件时，并不意味着系统一定是稳定的，为了进一步确定系统的稳定性，可以使用劳斯判据。

应用劳斯判据分析系统的稳定性时，可按下述方法进行。将系统的特征方程写成如下标准形式

将方程各项系数组成劳斯表

计算劳斯表的各系数

系数的计算一直进行到其余的b值全部等于零为止。用同样的前两行系数交叉相乘的方法，可以计算c,d,……e,f,g各行的系数。

（1）劳斯表第一列所有系数均不为零的情况

如果劳斯表中第一列的系数都具有相同的符号，则系统是稳定的，否则系统是不稳定的。且不稳定根的个数等于劳斯表中第一列系数符号改变的次数。

例1：已知系统的特征方程s4+2s3+s2+s+1=0，试用劳斯判据判断系统的稳定性

解：劳斯表为

S4111

S3210

S2(2*1－1*1)/2=1/2(2*1－1*0)/2=1

S1(1*1－2*2)/1=－3

S0(－3*2－1*0)/－3=2

由于