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解析数学中考史上十大难题

原题：25.已知△ABC，分别以AB、BC、CA为边向外作等边△ABD、等边△BCE、等边△ACF。

如图1，当△ABC是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论；

如图2，当△ABC中只有∠ACB=60°时，请你证明S△ABC与S△ABD的和等于S△BCE与S△ACF的和。

题目简要分析：这道题目之所以才位例第10为完全是因为第一问太简单了。对于第二问在我们平时教学过程中很少遇见面积等的问题，尤其是面对这种面积和等的问题，不仅缺少一些直接的定理去支持这些结论，且缺少一些必要的手段和方法去证明，平时练习也相对少一些，故本题第二问得分率很低。关于第二问本文提供3种解法，仅供参考。

解法一：

解题思路：观察AF∥BC，在△ABC中利用平行四边形构造一个三角形面积等于S△ACF，证明余下部分面积等于S△BCE即可（很容易能观察出△DAM≌△BAC≌△EMC，剩余部分DBEM是平行四边形，对角线平分面积）

解：（1）AB=CE,AC=BE,AF=BE，S△ABC=S△ABD等等

（2）过A作AM∥FC交BC于M，连结DM、EM。

S△MAC=S△ACF

∠BAC=∠CAM+∠BAM且∠DAB=∠CAM=60°

∵∠ACB=60°，∠CAF=60°，

∴∠ACB=∠CAF

∴AF∥MC

∴四边形AMCF是平行四边形.又∵FA=FC，

∴四边形AMCF是菱形.

∴AC=CM=AM，且∠MAC=60°，且

在△BAC与△EMC中，

CA=CM，∠ACB=∠MCE，CB=CE,

∴△BAC≌△EMC.

∴AB=ME又∵AB=DB

∴DB=ME

又∵∠DAM=∠DAB+∠BAM，

∴∠DAM=∠BAC，

在△DAM与△BAC中，

AD=AB,∠DAM=∠BAC,AM=AC

∴△DAM≌△BAC

∴DM=BC又∵BC=BE

∴DM=BE

∴四边形DBEM是平行四边形

∴S△BDM=S△BEM

S△BEM+S△EMC+S△ACF

由上所述∴△DAM≌△EMC

∴S△DAM=S△EMC

∴S△BDM+S△DAM+S△MAC=

即S△ABC+S△ABD=S△BCE+S△ACF

所用知识点：图形的分割能力，平行四边形面积，旋转，全等

本题需要有类比的思想，面积和等于面积和，证明方法可类似于线段和等于线段和。可先证明部分相等，再证明剩余部分相等。

解法二：

解题思路：观察AF∥BC，AC∥BE利用平行线间等积去转换S△ACF.和S△BCE转换后能够发现较明显的图形旋转。

连结BF，DC，AE

∠DAB=∠CAF=60°

=∠CBE=60°

∵∠DAC=∠DAB+∠BAC,

∠BAF=∠CAF+∠BAC,且

∴∠DAC=∠BAF

在△DAC与△BAF中

AD=AB,∠DAC=∠BAF,AC=AF

∴△DAC≌△BAF

∴S△DAC=S△BAF

又∵∠ACB=60°，∠CAF=60°，

∴∠ACB=∠CAF

∴AF∥BC

∴S△BAF=S△ACF

∴S△DAC=S△ACF

同理可证：S△DBC=S△CBE

∵∠DBC=∠DBA+∠ABC,

∠EBA=∠CBE+∠ABC,且∠DBA

∴∠DBC=∠EBA

在△DBC与△ABE中

BD=AB,∠DBC=∠EBA,BC=BE

∴△DBC≌△ABE

S△CBE

∴S△DBC=S△ABE

又∵∠ACB=60°，∠CBE=60°，

∴∠ACB=∠CBE

∴AC∥BE

∴S△ABE=S△CBE

∴S△DBC=S△CBE

∴S△DAC+S△DBC=S△ACF+

即S△ABC+S△ABD=S△BCE+S△ACF

所用知识点：图形的分割能力，旋转，全等，平行线间三角形等积转换请注意：平行线间三角形等积转换是分割图形很重要的思想

解法三：

解题思路：由结论可知分别是4个三角形面积和，设两边AC、BC长度，利用夹角是特殊角可算出第三边

AB长度，利用都是等边三角形，用边长强行表示出各三角形面积，余下就是代数整理过程。

解：过点A作AG⊥BC交BC于点G，过点C作CH⊥AF交于点H,设在△ABC中,BC=a，

AC=b，

所用知识点：三角函数计算，三角形面积计算（尤其是对等边三角形面积结论要很熟悉哦），建议各位同学能记忆等边三角形面积计算公式S=a2（a为边长，在选择和填空题方面可直接应用，比较方面）

由本题我们可以联想到：

2005年本题出现后，旋转一个古老的专题又再一次在以后的考试中活跃起来，关于面积转换和分割在近几年考试和练习中也越来越多。现针对于旋转和面积