度量空间中的极限.ppt

第二节度量空间中的极限,稠密集,可分空间学校：西华师范大学院系：数学与信息学院姓名：赵翔指导教师：何中全**教学目标：（一）知识与技能目标：1掌握度量空间中极限，稠密集，可分空间的概念。2初步掌握一些典型空间的例子和泛函分析中的证明思想。（二）过程与方法目标：从一些具体的空间实例中加深对基本概念的理解。教材分析：（一）教学重点：度量空间中极限，稠密集，可分空间的概念。（二）教学难点：空间是否可分的判断与证明课型：新授课教学方法：讲解法教学过程：复习引入：（1）高等代数中学过的向量空间，欧氏空间的概念。（2）今天学习的度量空间与之有何区别？是什么？进而引入新概念。讲解新课：设为度量空间,是距离,定义为的以为半径的开球,亦称为的--邻域由此,仿第二章第二节,可以定义距离空间中的一个点集的内点,外点,边界点及聚点,导集,闭包,开集等概念.设是中的点列,如果存在,使则称点列是中的收敛点列,是点列的极限,类似于,可以证明度量空间中收敛点列的极限是唯一的.设是度量空间中点集,定义为点集的直径,若,则称为中的有界集,类似于,可以证明度量空间中收敛点列是有界点列.度量空间中闭集也可以用点列的极限来定义：是闭集的充要条件是中任何收敛点列的极限都在中,即若则.下面讨论某些具体空间中点列收敛的具体意义.1、为维欧氏空间,为中的点列,,不难证明按欧氏距离收敛于的充分必要条件为对于每个,有.2、空间,设及分别为中点列及点,则收敛于的充分必要条件为函数列在上一致收敛于.3、序列空间,设及分别为中点列及点,下面证明点列收敛于的充分必要条件为依坐标收敛于,即对每个正整数,成立事实上,如果,即所以对任何正整数,因为,所以当时收敛于.因此,对任何给定的正数,存在正整数,使当时有由此可得.这说明对每个当时,.反之,若对于每个,成立着,对任何给定正数,因为级数收敛,所以存在正整数,使又对每个,存在,使当时,.令,那么当时,所以,当