随机变量序列的两种收敛.pptVIP

随机变量序列的两种收敛随机变量序列的收敛定义依概率收敛的性质几乎处处收敛的性质随机变量序列收敛的应用随机变量序列收敛的例子01随机变量序列的收敛定义定义01对于随机变量序列${X_n}$，如果对于任意的$varepsilon0$，有$lim_{ntoinfty}P(|X_n-X|varepsilon)=0$，则称${X_n}$依概率收敛到$X$。性质02依概率收敛是一种较弱类型的收敛，它只要求在任意小的误差范围内，大部分样本点都落在中心值附近。应用03在概率论和统计学中，依概率收敛被广泛应用于大数定律和中心极限定理的证明。依概率收敛几乎处处收敛在概率论和统计学中，几乎处处收敛被用于研究随机变量的极限行为和分布性质。应用对于随机变量序列${X_n}$，如果存在一个子序列${X_{n_k}}$，使得对于几乎所有的$x$，都有$lim_{ktoinfty}X_{n_k}=X$，则称${X_n}$几乎处处收敛到$X$。定义几乎处处收敛是一种较强类型的收敛，它要求除了一个零测度集外，所有的样本点都收敛到中心值。性质02依概率收敛的性质如果随机变量序列${X_n}$依概率收敛到$X$，且$X$依概率收敛到$Y$，则${X_n}$依概率收敛到$Y$。传递性说明，如果一个随机变量序列在概率上趋近于一个随机变量，并且这个随机变量在概率上趋近于另一个随机变量，那么原随机变量序列在概率上也会趋近于后者。依概率收敛的传递性依概率收敛的稳定性和不变性稳定性是指，如果一个随机变量序列在概率上趋近于一个常数，那么这个常数就是该序列的极限。不变性是指，如果一个随机变量序列的极限是一个随机变量，那么这个随机变量的分布与原序列的分布相同。如果两个不同的随机变量都是一个随机变量序列的极限，那么这两个随机变量的分布必须相同。唯一性是依概率收敛的一个重要性质，它确保了随机变量序列的极限是唯一的，从而避免了歧义和不确定性。依概率收敛的唯一性03几乎处处收敛的性质如果随机变量序列${X_n}$几乎处处收敛于$X$，且$X$几乎处处收敛于$Y$，则${X_n}$几乎处处收敛于$Y$。证明：由于${X_n}$几乎处处收敛于$X$，存在一个集合$A$，其概率大于0，使得对于所有$ninmathbb{N}$，有$X_n(A)=X(A)$。由于$X$几乎处处收敛于$Y$，存在一个集合$B$，其概率大于0，使得对于所有$xinB$，有$X(x)=Y(x)$。设$C=AcapB$，则$P(C)0$，且对于所有$xinC$，有$X_n(x)=X(x)=Y(x)$，因此${X_n}$几乎处处收敛于$Y$。几乎处处收敛的传递性设${X_n}$和${Y_n}$是两个随机变量序列，如果存在一个常数序列${a_n}$和${b_n}$，使得对于所有$ninmathbb{N}$，有$a_nX_n+b_nY_nrightarrowX$几乎处处收敛，则${X_n}$和${Y_n}$也几乎处处收敛。证明：设${a_n}$和${b_n}$是常数序列，且存在一个集合$A$，其概率大于0，使得对于所有$ninmathbb{N}$，有$(a_nX_n+b_nY_n)(A)=X(A)$。由于$a_nX_n+b_nY_nrightarrowX$，存在一个集合$B$，其概率大于0，使得对于所有$(x,y)inBtimesB$，有$(a_nX_n+b_nY_n)(x)=X(x)$。设$C=AcapBtimesB$，则$P(C)0$，且对于所有$(x,y)inC$，有$(a_nX_n+b_nY_n)(x,y)=X(x)$。因此${X_n}$和${Y_n}$也几乎处处收敛。几乎处处收敛的稳定性和不变性如果存在两个不同的随机变量序列${X_n}$和${Y_n}$都几乎处处收敛于同一个随机变量$X$，则这两个序列必须具有相同的概率分布。证明：由于${X_n}$和${Y_n}$都几乎处处收敛于同一个随机变量$X$，存在两个集合$A$和$B$，其概率都大于0，使得对于所有$ninmathbb{N}$，有$(X_n)(A)=(Y_n)(B)=X(AcapB)$。由于$(X_n)(A)=(Y_n)(B)$，存在一个集合$C=AcapB$，其概率大于0，使得对于所有$(x,y)inCtimesC$，有$(X_n)(x)=(Y_n)(y)$。因此$(X_1,X_2,ldots)$和$(Y_1,Y_2,ldots)$具