曲线坐标系下张量分析（可编辑）.doc

曲线坐标系下张量分析（可编辑）

曲线坐标系下张量分析

第四章:曲线坐标系张量分析

张量场函数:Tfr在空间中每一点定义一个张量T

??

曲线坐标系回顾:

123

笛卡尔坐标系下空间一点的矢径rxexe?xe

123

ii

坐标线:只变化一个坐标时，矢径的轨迹。

xx

直线坐标系下，坐标线都是直线。

ii123123

当xx,?,?，，，坐标线中至少有一个是曲线时，称为曲

线坐标系

?????

?r

协变基:gii

所以:

?xk?xkii

giiekgiiiekigi

jjjj

jjj

gmemgjmemjg

?x?x

原因:

jkjmj

j?x?xj

g?gee?

i?xmikm?xmiii

曲线坐标系中，基矢量是曲线坐标的函数

基矢量的导数

基矢量对曲线坐标的导数还是矢量，因而可以用基矢量的线性组合表示:

?gjkk

gg

iijkij,k

其中组合系数

?k称为第二类Christoffel符号

ij

?称为第一类Christoffel符号

ij,k

Christoffel符号是协变基矢量对曲线坐标的导数在基底矢量下的分解系

数。事实上:

k?gjk

?ijig

?gj

?ij,kigk

76

?指标对称性

第二类Christoffel符号的两个协变指标用于指示哪一个协变基矢量(第

二个协变指标)

对哪一个曲线坐标(第一个协变指标)求导数。然而，根据协变基矢量的定

义:

?r

gjj

可得:

?g2

kjk?rk?gikk

?ijigijgjg?ji

?g2

j?r?gi

?ij,kigkijgkjgk?ji,k

说明Christoffel符号相对它的前两个协变指标是对称的。

?不是张量

在直线坐标系中，由于基矢量不随坐标而改变，所以第二类Christoffel符号全部为零。

如果它是张量，它在任意坐标系中都应是零。

?两类Christoffel符号之间的联系

由于Christoffel符号的第三个指标是矢量的分量指标，所以可以通过度量张量进行升

降。

k?gjkkm?gjkm

?ijiggigmgij,m

?gj?gjmm

?ij,kigkigkmggkmij

?逆变基矢量的导数

ii

由g?gjj可知:

?gi?gji

k?gj?k?g0

从而

?gii

?g

kjkj

?gi

ij

?g

kkj

(逆变基导数表达式符合张量指标规则，但要加负号)

77

?与度量张量分量导数之间的关系

?gij?gi?gj

g??g?a

kkjkiki,jkj,i

?gjk

b

iij,kik,j

?gki?ck

jjk,iij,k

1?gjk?gki?gij

i

b+c-a?ij,kij?kj

2

规则:

ijk

?分别求度量张量分量对曲线坐标?,?,?的导数，度量张量的分量指标

按与曲线

坐标指标构成顺时针排序确定;

?曲线坐标的指标为时为正，曲线坐标的指标为k时为负;

i,j

?将所得结果相加的一半即为。

?

ij,k

例题:求ggg?g对曲线坐标的导数

123

?g?[g?g?g]

123

ii

?g1?g2?g

3

g?g?g??g?g?g?

i231i312i

kkk

g?g?gg?g?gg?g?g

i1k23i21k3i31

2k

123

g?g?g

i1i2i3123

kg

ik

从中可得Christoffel符号的一个重要性质:

k1?g?lng

?

ikgii

Hamilton算子?

?i

定义:?ig

运算规则:作用于张量时，运算结果由对张量对曲线坐标求偏导数与相应的基矢量

组成;基矢量指标与曲线坐标指标相同;基矢量与张量偏导数之间的运算与算子与

张量之间的运算相同:

78

i?T?Ti

?TgiT?ig(张量的左右梯度)

i?T