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引言

小波分析在信号处理中的应用

由传感器所检测到的奇异信号往往载有设备运行状态特征的重要信息。判断状态信号的奇异点出现时刻，并对信号奇异性实现定量描述，在信号处理和故障诊断等领域有着重要的意义。

信号的奇异性分析是提取信号特征的重要手段，傅里叶变换一直是研究信号奇异性的经典工具，但是由于傅里叶变换对信号的表示要么在时域，要么在频域，缺乏空间局部特性，因而只能确定信号奇异性的整体信息，无法确定奇异点的空间分布。小波变换具有时－频局部化特性，能够有效地分析信号的奇异性，确定奇异点的位置与奇异度的大小，为信号奇异性分析提供了有力的工具。

基本理论

小波分析概况

小波分析是自1986年以来由Y1Meyer，S1Mallat及I1Daubechies等的研究工作为基础而迅速发展起来的一门新兴学科，他是傅里叶分析(FourierAnaly2sis)划时代的发展结果，是目前数学分析和信号处理领域中广泛应用的一套新理论、新方法，如：信号分析、图像处理、量子力学、军事电子对抗与武器的智能化、计算机分类与识别、数据压缩、医学成像与诊断、地震勘探数据处理、边缘检测、音乐与语音人工合成、大型机械的故障诊断、大气与海洋波的分析、分形力学、流体湍流以及天体力学等。但以上大多数领域的应用都可以归结为信号处理问题，故本文才重点介绍小波分析在信号处理方面的应用。

在信号处理领域，对原始信号进行变换，从变换的结果和过程中提取信号的特征，获得更多的信息，而这些信息是原来信号没有直接提供的(隐含的)，目前，已经有许多变换应用于信号处理，最基本的是频域变换和时域变换，最熟悉的莫过于傅里叶变换(FourierTransform)，然而，傅里叶变换只能分别对信号的时域和频域进行观察，不能把二者有机地结合起来。为了解决此问题，引入了短时傅里叶变换(Short-timeFourierTransform)，该变换能够给出信号的时间和频率的二维分布，在短时傅里叶变换中，其窗口宽度是一个恒定的值，不能根据信号局部特征调整其窗口宽度。为此，引入了小波变换，解决了以上问题。

小波分析方法是一种窗口大小(即窗口面积)固定但其形状可改变、时间窗和频率窗都可改变的时频局部分析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，所以被誉为数学显微镜。在大尺度下，可以将信号的低频信息(全局)表现出来，在小尺度下，可以将信号的高频(局部)特征反映出来。

信号奇异性的有关定义

数学上称无限次可导函数是光滑的或没有奇异性，若函数在某处有间断或某阶导数不连续，则称函数在此处有奇异性,该点就是奇异点。信号的突变点往往包含重要的信息。宇宙射线和太阳黑子爆发，空间核磁暴，对于在太空飞行的卫

星和飞船安全构成重大威胁，影响太空飞行器的使用寿命。通过处理采集的空间数据，检测到奇变点，找到太空天气异动的时刻，做出科学的判断，及时调整飞行器姿态，以保护飞行器的安全。寻找变化周期，总结规律，可为进行太空天气预报提供依据。

0假设一维信号s(t)=s0(t)+n(t)，n(t)为噪声。s0(t)在t的某一邻域内二阶可导，一阶导数S(t)的极值代表了在极值某一相邻区间内，信号线性变化最剧烈的时

0

刻。我们往往对信号变化最剧烈的时刻，也就是S(t)的模S(t)最大值所在时刻

0 0

感兴趣。S(t)极值点对应于s0(t)的拐点。s0(t)的拐点对应于二阶导数S(t)的零点

0 0

位置。S(t)的零点不一定是S(t)的极值点。通过S(t)的零点位置以及零点邻域

0 0 0

0内值的正负性质，可以判断出s0(t)变化的凹凸特性，也可以判断该点是否是S(t)

0

在某一邻域内的极值(极大值或极小值)。但是S(t)的极小值并不一定成为S(t)

0 0

的最大值。

小波分析基础

观测信号s(t)含有噪声。应用观测数据s(t)代替s0(t)进行分析处理，要进行平滑和滤波处理。设θ?t?是一个适当的光滑函数，满足

??θ?t?dt?1和limθ?t??0。一般情况下选θ?t?为高斯函数，即

?

?? t??

θ?t?? 12πσ

?t2

e2σ

e

若令

θ?t??

dθ?t?dt

，θ2?t??

d2?t?

dt2

则有

????θ?t?dt?0 ，

??

????θ2?t?dt?0

??

显然θ?t?和θ2?t?均为子波函数，现在对函数θ?t?引入尺度因子a，

并采用如下表示：

θ?t??1θ?t?

aaa ? ?

aa

a