等腰三角形的判定 知识讲解 (提高）.docVIP

专注：心无旁骛，万事可破

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等腰三角形的判定(提高)知识讲解

责编：杜少波

【学习目标】

1.理解等腰三角形的判定定理及其证明过程.

2.掌握等边三角形的判定定理及其证明过程．

3.熟练运用等腰三角形，等边三角形的判定定理与性质定理进行推理证明和计算．

【要点梳理】

要点一、等腰三角形的判定

如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.

要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.

要点二、等边三角形的判定

（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

要点诠释：等边三角形是中考常考的知识点，需要记住以下数据：边长为a的等边三角形它的高是，面积是.

【典型例题】

类型一、等腰三角形的判定

1、如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F.求证：AF＝EF

【答案与解析】

证明：延长AD到H使DH＝AD，连接BH.

∵AD是BC边上的中线，

∴BD＝CD

在△ADC和△HDB中，BD＝DC，∠BDH＝∠CDA，AD＝HD，

∴△ADC≌△HDB，

∴∠1＝∠H，BH＝AC

∵BE＝AC，∴BE＝BH，

∴∠3＝∠H，

∴∠1＝∠3

又∵∠2＝∠3，

∴∠1＝∠2，

∴AF＝EF

【总结升华】证AF＝EF，只需证明∠FAE＝∠AEF，考虑中线倍长，构造全等三角形、等腰三角形.

举一反三：

【变式】如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．

求证：AC＝BF．

【答案】

证明：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG.

ABCD

A

B

C

D

E

F

G

2、已知，如图，AD为△ABC的内角平分线，且AD＝AB，CM⊥AD于M.

求证：AM＝(AB＋AC)．

【答案与解析】

证明：延长AM至点E，使ME＝AM，连结CE.

∴．

【总结升华】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，能推出DE=CE是解本题的关键.

3、如图，在△ABC中，已知∠A＝90°，AB＝AC，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F．求证：∠ADB＝∠CDF．

【思路点拨】∠ADB与∠CDF对应的三角形不全等，因此，需构造全等三角形，而在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边的高（中线）是一条常用辅助线．

【答案与解析】

证明：如图，过A作∠BAC的平分线交BD于点G，

又因为∠A＝90°，所以∠BAG＝∠GAD＝45°．

∵∠A＝90°，AE⊥BD，∴∠DAE＝∠ABE（同角的余角相等）．

∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠C＝45°＝∠BAG＝∠GAD．

在△ABG与△ACF中，

∴△ABG≌△ACF（ASA）．

∴AG＝FC

又∵D为AC中点，∴AD＝DC

在△AGD与△CFD中，

∴△AGD≌△CFD（SAS）

∴∠ADB＝∠CDF

【总结升华】解等腰三角形相关问题时，常用到以下知识方法：

（1）作等腰三角形角顶角平分线；（2）在未指明边（角）的名称时，应分类讨论．

4、如图，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B＝2∠C，求证:AB＋BD＝CD．

【答案与解析】

证法一：如图，在DC上取DE＝BD，

∵AD⊥BC，

∴AB＝AE，

∴∠B＝∠AEB，

在△ACE中，∠AEB＝∠C+∠CAE，

又∵∠B＝2∠C，

∴2∠C＝∠C+∠CAE，

∴∠C＝∠CAE，

∴AE＝CE，

∴CD＝CE+DE＝AB+BD．

证法二：如图，延长DB于E，使BE＝AB，连接AE，

则∠E＝∠EAB，∠ABC＝2∠E＝2∠C，

∴∠C＝∠E．

∴AE＝AC．

在Rt△AED与Rt△ACD中，

∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL）．

∴DC＝DE＝BD＋BE＝BD＋AB．

【总结升华】处理“两倍角”的基本方法有：（1）作角平分线得等角；（2）向外或向内构造等腰三角形．

举一反三：

【变式】求证：有两条中线相等的三角形是等腰三角形．

已知：BD、CE是△ABC的两条中线（如图），BD＝CE．

求证：AB＝AC．

【答案】

证明：如图，将EC沿ED平移得DF，连接ED、CF，根据平移的特